Η σχέση της λωρίδας Möbius με τη μουσική. Music and Möbius Strips

M.C. Escher, Moebius Strip II, 1963, woodcut in red, black and grey-green.

Αν ταξιδεύατε μέσα σε ένα σύμπαν Möbius (Μέμπιους), θα επιστρέφατε στο σημείο στο οποίο ξεκινήσατε με τη δεξιά και αριστερά πλευρά σας αντεστραμμένες.

Αν κάνατε έναν ακόμα γύρο της λωρίδας, όταν επιστρέφατε στο σημείο εκκίνησης τα όργανά σας θα είχαν πάρει πάλι τον αρχικό προσανατολισμό τους.

Με τον ίδιο τρόπο, μπορούμε να δημιουργήσουμε μουσική Μέμπιους. Η μουσική παίζεται κανονικά την πρώτη φορά. Όταν ο μουσικός φτάσει στο σημείο απ’ όπου ξεκίνησε, παίζει πάλι τη μουσική, αλλά με κάποιες παραλλαγές. Για παράδειγμα, τη δεύτερη φορά η παρτιτούρα μπορεί να είναι κατοπτρική της πρώτης, ή να παίζεται ανάποδα.

Νεανικό Πορτραίτο του Μπαχ (περίπου 1715). J. E. Rentsch, the Elder. Young Johann Sebastian Bach, 1715. Johann Sebastian Bach wrote a lot of canons, and experimented with all sorts of different forms.  The one which is most interesting for our purposes is from his “Musical Offering.”  His canon for two violins, also called “crab canon,” is written so that you can play it normally, from one end to the other, and then you can take the score of music, flip it upside down, and play it again.

Ο Γιόχαν Σεμπάστιαν Μπαχ έγραψε «μουσική Μέμπιους» – για παράδειγμα, ο Καρκινικός Κανόνας – στην οποία ο μουσικός μπορεί να παίξει ένα κομμάτι και μετά να αναποδογυρίσει την παρτιτούρα και να παίξει το ίδιο κομμάτι.

Arnold Schoenberg, Los Angeles, 1948. Arnold Schoenberg, several centuries later, experimented with crab canons too.  He wrote an entire treatise called Style and Idea which discusses, among other things, different ways of rearranging musical scores.  He wrote an example of a crab canon which has four parts instead of Bach’s two.  He called it mirror canon.

Ο Αυστρο – ούγγρος μουσικοσυνθέτης Άρνολντ Σένμπεργκ, αρκετούς αιώνες αργότερα, πειραματίστηκε με καρκινικούς κανόνες, τους οποίους ονόμασε «κατοπτρικούς κανόνες».

Ο Ρωσο – αμερικανός συνθέτης και γλωσσολόγος Νίκολας Σλονίμσκι, εμπνεύστηκε άμεσα από τη λωρίδα του Μέμπιους. Το έργο «Möbius Striptease» εκτελέστηκε για πρώτη φορά από δυο τραγουδιστές και έναν πιανίστα το 1965 στο Λος Άντζελες. 

August Ferdinand Möbius.

Δείτε ένα απόσπασμα από τους στίχους του κομματιού:

Ach! Professor Möbius, glörious Möbius

Ach, we love your topological,

And, ach, so logical strip!

One-sided inside and two-sided outside!

Ach! euphörius, glörius Möbius Strip-Tease!

Οι οδηγίες πάνω στην παρτιτούρα λένε: «Αντιγράψτε τη μουσική για κάθε εκτελεστή πάνω σε μια λωρίδα πυκνότητας 110 γραμμαρίων ανά τετραγωνικό μέτρο και διαστάσεων 172 επί 15 εκατοστών. Συστρέψτε κατά μισή στροφή τη λωρίδα προκειμένου να την μετατρέψετε σε λωρίδα του Μέμπιους». Το τραγούδι ήταν, ουσιαστικά, ένας ατέρμων φωνητικός κανόνας γραμμένος πάνω σε μια ταινία του Μέμπιους με τρόπο ώστε να περιστρέφεται γύρω από το κεφάλι του τραγουδιστή την ώρα της παράστασης.

Ο Πίτερ Χάμιλ – η φωνή των «Van Der Graaf Generator».

Σήμερα αρκετά μουσικά συγκροτήματα έχουν στο όνομά τους τη λέξη «Μέμπιους» (όπως το συγκρότημα Möbius Band από τη Μασαχουσέτη) ή την χρησιμοποιούν στα τραγούδια τους. Για παράδειγμα, στο τραγούδι “The Möbius Loop” του Peter Hammill ακούμε τους παρακάτω στίχους:

Indicision and uncertainty

catch you now as they never have before

How come you didn’t recognize

the revolving door?

Oh, you’re gonna take sides

on the checkered floor

It used to be so easy

You saw everything in black and white

but when you lost track of all the moves you’d made

you lost faith in wrong and right

It doesn’t seem conceivable

look what’s handing in your hands

Oh, is it a trick of comprehension

or a master plan?

Oh, a change in your perspective

from the gutter now used to

How come you didn’t recognize

the fiery room

How you’re gonna take sides

Now you’re on the Moebius loop.

Αφορμή για την ανάρτηση αυτή ήταν το άρθρο του Γιώργου Καρουζάκη με τίτλο «Η μαθηματική όψη της μουσικής του Μπαχ». Εκεί αναφέρεται στον Jos Leys, που ασχολήθηκε με ένα από τα σπουδαιότερα μουσικά έργα του Μπαχ το οποίο διακρίνεται για τον πλούτο και την πολυπλοκότητά του. O Jos Leys δεν στάθηκε στην ακουστική απόλαυση που προσφέρει η μουσική, αλλά προχώρησε στην οπτική αναπαράσταση του αινιγματικού Κανόνα 1 και 2 του έργου «Μεγάλη Προσφορά» (1747) του συνθέτη.

Στο βίντεο μπορείτε να παρατηρήσετε την πορεία της μουσικής στην παρτιτούρα νότα-νότα και να δείτε πώς το μουσικό κομμάτι εξελίσσεται και αντιστρέφεται κινούμενο προς την αντίθετη κατεύθυνση. Στη συνέχεια, η παρτιτούρα παρουσιάζεται ως μια ενιαία μουσική ακολουθία που εκτελείται ταυτόχρονα προς τα πίσω και προς τα εμπρός. Ο Jos Leys αποκαλύπτει, μέσα από αυτή τη διαδικασία, αντιστοιχίες της μουσικής του Μπαχ με τη φόρμα της περίφημης λωρίδας του Möbius.

Πηγές: Clifford Pickover, Η λωρίδα του Μέμπιους, Εκδόσεις Τραυλός, Αθήνα, 2011 και www.carliner-remes.com.