Τετάρτη, 2 Ιουλίου 2014

Στα μαθηματικά υπάρχει Θεός. Computer Scientists 'Prove' God Exists

Ευρωπαίοι μαθηματικοί απέδειξαν έπειτα από 40 χρόνια τη θεωρία περί της ύπαρξης του Θεού του Γκέντελ με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή. Two scientists have formalized a theorem regarding the existence of God penned by mathematician Kurt Gödel. But the God angle is somewhat of a red herring -- the real step forward is the example it sets of how computers can make scientific progress simpler. Getty Images

Υπάρχει Θεός; Το ερώτημα αυτό απασχολεί τους φιλοσόφους και τους θεολόγους εδώ και δεκάδες αιώνες. Ξαφνικά πριν από λίγους μήνες εμφανίστηκε η είδηση ότι δύο ευρωπαίοι μαθηματικοί, χρησιμοποιώντας έναν ηλεκτρονικό υπολογιστή και τη σχετική θεωρία του αυστριακού μαθηματικού Κουρτ Γκέντελ, κατάφεραν να αποδείξουν μαθηματικά την ύπαρξη του Θεού! Το τι ακριβώς απέδειξαν και με ποιον τρόπο σχετίζεται άμεσα με την κατανόηση της Μαθηματικής Λογικής και των κανόνων που τη διέπουν.

Το θεώρημα του Θεού

Austrian mathematician Kurt Gödel kept his proof of God's existence a secret for decades. Now two scientists say they have proven it mathematically using a computer. picture-alliance/ Imagno/ Wiener Stadt- und Landesbibliothek

Λίγο πριν από τον θάνατό του ο μεγάλος αυστριακός μαθηματικός Κουρτ Γκέντελ (Kurt Gödel) δημοσιοποίησε μια μαθηματική απόδειξη για την ύπαρξη του Θεού την οποία επεξεργαζόταν επί 30 χρόνια. Η απόδειξη αυτή βασίζεται στη σύγχρονη αξιωματική θεμελίωση των Μαθηματικών, η οποία με τη σειρά της αποτελεί συνέχεια της αρχαιοελληνικής μαθηματικής παράδοσης και της Γεωμετρίας του Ευκλείδη. Σε αυτόν τον τρόπο θεμελίωσης ξεκινάμε με τη διατύπωση αξιωμάτων, δηλαδή υποθέσεων που δεν αποδεικνύονται αλλά φαίνονται προφανείς. Στη συνέχεια, με τη βοήθεια των αξιωμάτων και της Μαθηματικής Λογικής, μπορούμε να αποδείξουμε θεωρήματα και να οικοδομήσουμε μια ολόκληρη θεωρία. Για παράδειγμα, ένα από τα πέντε αξιώματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι το ότι όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Ο Γκέντελ προσπάθησε να «αποδείξει» την ύπαρξη του Θεού ως ένα θεώρημα ξεκινώντας από ένα σύνολο πέντε αξιωμάτων που φαίνονται «προφανή» στο πλαίσιο της Μαθηματικής Λογικής.

Η «απόδειξη» αυτή φάνηκε εξαρχής ότι είχε δύο αδύνατα σημεία. Πρώτον, είναι άραγε τα αξιώματα όντως προφανή και, δεύτερον, είναι άραγε συμβατά μεταξύ τους ώστε να μην έχουν κρυφές ασυνέπειες; Για το πρώτο δεν μπορούμε να κάνουμε και πολλά πράγματα, αφού τα αξιώματα στα Μαθηματικά μπορεί να φαίνονται «λογικά» αλλά κατά τα άλλα είναι αυθαίρετα, οπότε ο Θεός υπάρχει αν τα αξιώματα αυτά αληθεύουν. Το δεύτερο όμως αποτέλεσε αντικείμενο έρευνας για πάνω από 40 χρόνια επειδή έπρεπε να αποδειχθεί ότι τα πέντε αυτά αξιώματα δεν περιέχουν κρυφές αντιφάσεις και άρα είναι αυτοσυνεπή.

When Gödel died in 1978, he left behind a tantalizing theory based on principles of modal logic -- that a higher being must exist. The details of the mathematics involved in Gödel's ontological proof are complicated, but in essence the Austrian was arguing that, by definition, God is that for which no greater can be conceived. And while God exists in the understanding of the concept, we could conceive of him as greater if he existed in reality. Therefore, he must exist. Even at the time, the argument was not exactly a new one. For centuries, many have tried to use this kind of abstract reasoning to prove the possibility or necessity of the existence of God. But the mathematical model composed by Gödel proposed a proof of the idea. Its theorems and axioms -- assumptions which cannot be proven -- can be expressed as mathematical equations. And that means they can be proven. That is where Christoph Benzmüller of Berlin's Free University and his colleague, Bruno Woltzenlogel Paleo of the Technical University in Vienna, come in. Using an ordinary MacBook computer, they have shown that Gödel's proof was correct -- at least on a mathematical level -- by way of higher modal logic. Their initial submission on the arXiv.org research article server is called "Formalization, Mechanization and Automation of Gödel's Proof of God's Existence."

Το κατόρθωμα των δύο ευρωπαίων μαθηματικών, του Γερμανού Κρίστοφ Μπεντζμίλερ (Christoph Benzmüller) και του Αυστριακού Μπρούνο Βολτσενλόγκελ Παλέο (Bruno Woltzenlogel Paleo), ήταν ότι κατάφεραν να αναπαραστήσουν τα αξιώματα του Γκέντελ και τους συλλογισμούς του με μαθηματικά σύμβολα. Στη συνέχεια, με τη βοήθεια εξειδικευμένου λογισμικού που χειρίζεται έννοιες λογικής σε ηλεκτρονικό υπολογιστή, μπόρεσαν αφενός μεν να διαπιστώσουν ότι τα αξιώματα δεν περιέχουν κρυφές αντιφάσεις και αφετέρου να επιβεβαιώσουν την απόδειξη του θεωρήματος.

Ιδέα με αρχαίες βάσεις

O Αριστοτέλης διδάσκει τον Αλέξανδρο. Aristotle teaching Alexander the Great. Engraving by Charles Laplante, a french engraver and illustrator. Η απαγωγή σε άτοπο ή εις άτοπον απαγωγή (όρος που διεθνοποιήθηκε από τη λατινική φράση reductio ad absurdum, μετάφραση της αντίστοιχης ελληνικής ορολογίας των Αριστοτέλη και Ευκλείδη) είναι μία από τις σημαντικότερες μεθόδους μαθηματικής απόδειξης. Ωστόσο, η απαγωγή σε άτοπο δεν εφαρμόζεται αποκλειστικά στα μαθηματικά και στην τυπική λογική, αλλά συνιστά ευρύτερα τη συλλογιστική μέθοδο κατά την οποία αποδεικνύεται η αλήθεια μιας πρότασης με βάση το γεγονός ότι η αντίθετή της είναι ψευδής ή λανθασμένη.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι, πέρα από το καθαρά μαθηματικό μέρος, η βάση της απόδειξης του Γκέντελ περί της υπάρξεως του Θεού δεν ήταν εντελώς καινούργια αφού έμοιαζε με το επιχείρημα του άγγλου θεολόγου και φιλοσόφου του 11ου αιώνα Ανσέλμου του Καντέρμπουρι, το οποίο, με τη σειρά του, βασίζεται στη μέθοδο της «εις άτοπον απαγωγής» των αρχαίων ελλήνων φιλοσόφων και μαθηματικών. Ο συλλογισμός του Ανσέλμου ήταν ο εξής:

1. Ο Θεός είναι η υπέρτατη ύπαρξη.
2. Η ιδέα του Θεού υπάρχει στη σκέψη μας.
3. Μια ύπαρξη που υπάρχει τόσο στη σκέψη όσο και στην πραγματικότητα είναι ανώτερη από μια ύπαρξη που υπάρχει μόνο στη σκέψη.
4. Αν ο Θεός υπήρχε μόνο στη σκέψη μας, τότε θα μπορούσαμε να συλλάβουμε την ιδέα μιας ανώτερης ύπαρξης η οποία υπάρχει και στην πραγματικότητα.
5. Αλλά δεν μπορούμε να φανταστούμε μια ύπαρξη ανώτερη από τον Θεό.
6. Άρα ο Θεός υπάρχει στην πραγματικότητα.

"Kurt Gödel's achievement in modern logic is singular and monumental - indeed it is more than a monument, it is a landmark which will remain visible far in space and time. ... The subject of logic has certainly completely changed its nature and possibilities with Gödel's achievement." —John von Neumann

Η βασική συνεισφορά του Γκέντελ ήταν η μαθηματική περιγραφή του παραπάνω συλλογισμού και ειδικά των σημείων 3 και 4. Εκεί χρησιμοποίησε την έννοια της πιθανής αλήθειας μιας πρότασης, η οποία επεκτείνει την αριστοτελική λογική που δέχεται ότι μια πρόταση είναι είτε αληθής είτε ψευδής.

1+1 κάνουν 2;

Kurt Godel, often with Albert Einstein a close friend and colleague. It was Einstein who lobbied for him to come to the Institute for Advanced Study at Princeton (Google Images free).

Ο Γκέντελ έγινε διάσημος σε νεαρή ηλικία όταν διατύπωσε το περίφημο «θεώρημα της μη πληρότητας». Συνέπεια του θεωρήματος αυτού είναι ότι, στο πλαίσιο της «Απλής Αριθμητικής» των ακεραίων αριθμών, η οποία βασίζεται σε αξιώματα όπως το γνωστό «1+1=2», υπάρχουν προτάσεις που δεν είναι δυνατόν να διαπιστώσουμε αν αληθεύουν ή όχι βασιζόμενοι μόνο στα αξιώματα αυτά. Οι προτάσεις αυτές χαρακτηρίζονται από μια αυτοαναφορά και το πιο γνωστό ανάλογό τους στο πλαίσιο της απλής λογικής είναι το παράδοξο του αρχαίου έλληνα φιλοσόφου Ευβουλίδη, σύμφωνα με το οποίο «αν κάποιος παραδεχθεί ότι ψεύδεται, αυτό που λέει είναι αλήθεια ή ψέμα;». Η πρόταση αυτή οδηγεί σε φαύλο κύκλο, αφού αν η πρόταση είναι αληθής συμπεραίνουμε ότι ο συνομιλητής μας ψεύδεται ενώ αν η πρόταση είναι ψευδής συμπεραίνουμε ότι ο συνομιλητής μας λέει την αλήθεια. Το θεώρημα της μη πληρότητας του Γκέντελ είχε σοβαρότατες συνέπειες στη θεμελίωση των Μαθηματικών με βάση την αξιωματική μέθοδο, η οποία στη δεκαετία του 1920 φαινόταν ότι θα κατάφερνε να ενοποιήσει όλους τους κλάδους αυτής της επιστήμης σε ένα ενιαίο οικοδόμημα. Παράλληλα όμως υπήρξε ο λόγος που του προσφέρθηκε το 1940 μια θέση στο Ινστιτούτο Προχωρημένων Σπουδών του Πρίνστον, όπου και παρέμεινε ως καθηγητής ως τον θάνατό του το 1978. Η συνεισφορά του Γκέντελ στη θεμελίωση της Μαθηματικής Λογικής αναγνωρίστηκε επανειλημμένως, με σημαντικότερο κατά τη γνώμη μου το βραβείο Αϊνστάιν του Ινστιτούτου που του απονεμήθηκε το 1951 από τον ίδιο τον Αϊνστάιν, ο οποίος ήταν συνάδελφός του σε αυτό το ίδρυμα και στενός φίλος του.

Gravestone of Kurt and Adele Gödel in the Princeton, N.J., cemetery. Ultimately, the formalization of Gödel's ontological proof is unlikely to win over many atheists, nor is it likely to comfort true believers, who might argue the idea of a higher power is one that defies logic by definition. For mathematicians looking for ways to break new ground, however, the news could represent an answer to their prayers.

Οι συνθήκες θανάτου του Γκέντελ ήταν πολύ ασυνήθιστες και αποτέλεσαν την έμπνευση για το θεατρικό έργο «Δέκατη έβδομη νύχτα» του Απόστολου Δοξιάδη. Ο Γκέντελ έπασχε από έλκος του δωδεκαδακτύλου και ακολουθούσε, με δική του πρωτοβουλία, μια πολύ αυστηρή δίαιτα. Σιγά-σιγά άρχισε να πιστεύει ότι τον δηλητηριάζουν και κατέληξε να αρνείται να φάει το φαγητό του. Το αποτέλεσμα αυτής της κατάστασης, θα έλεγε κανείς, αποτέλεσε το κορυφαίο λογικό παράδοξο υλοποιημένο – και όχι διατυπωμένο – από τον θεμελιωτή της Μαθηματικής Λογικής. Αν δεν έτρωγε, ήταν σίγουρο ότι ο Γκέντελ θα πέθαινε από ασιτία. Αν έτρωγε ίσως να πέθαινε από δηλητηρίαση – αλλά και ίσως όχι. Ο Γκέντελ, πέρα από κάθε λογική, διάλεξε ενσυνείδητα την πρώτη επιλογή – και πέθανε από ασιτία.

Χάρης Βάρβογλης, καθηγητής του Τμήματος Φυσικής του ΑΠΘ.

Πηγή: tovima.gr


Το εκπληκτικό ντοκιμαντέρ του BBC για το Μινωικό πολιτισμό. Minoan civilization on the island of Crete

A detail of the dolphin fresco, the Minoan palace of Knossos, Crete, (1700-1450 BCE).

Ένα εντυπωσιακό βίντεο στο οποίο αναπαριστάται η ζωή στην Μινωϊκή Κρήτη δείχνει πτυχές από τον πολιτισμό που άκμασε από τον 27ο αιώνα έως τον 15ο αιώνα π.Χ..

Artist rendering palace of Knossos. Photos © Ancient Images

Τα ανάκτορα της Κνωσού ανακαλύφθηκαν στις αρχές του 20ου αιώνα μ.Χ. από τον Βρετανό αρχαιολόγο Άρθουρ Έβανς. Τα ανθρωποειδή εμφανίστηκαν για πρώτη φορά στην Κρήτη περίπου πριν από 130.000 χρόνια, κατά την εποχή της Μέσης Παλαιολιθικής Εποχής. Τσεκούρια που βρέθηκαν, αποδίδονται στον τύπο ανθρώπου Homo erectus που εντοπίστηκε στην Αφρική.

A fresco showing bull leaping, Minoan Knossos (Final Palatial period 1450-1400 BCE), Heraklion Archaeological Museum, Crete.

Ο Μινωικός πολιτισμός θεωρείται ότι ξεκινάει με τα ανακτορικά συγκροτήματα που εμφανίστηκαν στην Εποχή του Χαλκού. Στο βίντεο θα δείτε επίσης πολύ καλές αναπαραστάσεις από τα Ταυροκαθάψια.

A detail of the griffin fresco from the throne room, palace of Knossos, Crete, (1700-1450 BCE).

Η Δύση του Μινωικού πολιτισμού ξεκινάει με την έκρηξη του ηφαιστείου της Σαντορίνης (που μέχρι τότε λεγόταν Στρογγύλη) περίπου το 1600 π.Χ. Τεράστια κύματα και τσουνάμι σάρωσαν τις ακτές της Κρήτης, η καταστροφή της Θήρας και του Μινωικού πολιτισμού περιγράφεται πολύ παραστατικά στο παρακάτω Βίντεο. Αποδυναμωμένες πλέον οι Μινωικές μητροπόλεις έπεσαν εύκολα αργότερα από τους εισβολείς Μυκηναίους. 

Το βίντεο αποτελεί απόσπασμα από το ντοκιμαντέρ του BBC, Ατλαντίδα: Το Τέλος Ενός Κόσμου η Γέννηση ενός Θρύλου.

Minoan civilization was a Bronze Age Greek civilization that arose on the island of Crete and came to dominate the shores and islands of the Aegean Sea. The civilization flourished as a maritime power from approximately the 27th century to the 15th century BC. It was rediscovered at the beginning of the 20th century by British archaeologist Arthur Evans. Will Durant referred to this civilization as "the first link in the European chain."

Hand axe found at the west flank of the Preveli Gorge. While claims for pre-Neolithic artifacts on Crete have been made for decades, the Plakias Survey is the first project to identify Mesolithic and Palaeolithic artifacts in datable geologic contexts. The survey, led by Eleni Panagopoulou (Ephoreia of Palaeoanthropology and Speleology, Southern Greece) and ASCSA alumnus and Managing Committee member Thomas Strasser (Providence College) under the auspices of the Ministry of Culture and Tourism of Greece, identified 29 sites associated with caves and rock shelters and collected a sample of just over 2,000 stone artifacts attributable to the Mesolithic and the Lower Palaeolithic periods. Since Crete has been an island for five million years, these findings have significant implications for the history of seafaring in the Mediterranean.

Hominids first appeared on Crete approximately 130,000 years ago, during the Middle Paleolithic age. Axes, of the type that has been attributed to Homo erectus in Africa and made of local quartz rather than flint, have been found at Preveli Gorge in southern Crete.

Minoan garden fresco. Photos © Ancient Images

Archaeological evidence points to the island's settlement between the late 8th and early 7th millennia BC. However, it was not until 5000 BC that the first signs of advanced agriculture appeared. Minoan civilization is considered to have begun with the palace complexes that appeared in the Bronze Age.

Λύθηκε το μυστήριο της κινεζικής πήλινης στρατιάς. 3D modelling of China’s Terracotta Army

Με τη χρήση εικόνων 3D, οι αρχαιολόγοι έκαναν μια μοναδική ανακάλυψη σχετικά με το μυστήριο που περιβάλλει τη Μεγάλη Πήλινη Στρατιά. The terracotta army, which consists of individually sculpted warriors, was found inside the mausoleum of China’s first emperor, Qin Shi Huang. The results of 3D modelling of China’s Terracotta Army, undertaken by UCL Institute of Archaeology and international colleagues, have recently been published in the Journal of Archaeological Science.

Το εκπληκτικό με την κινεζική στρατιά που μένει παγωμένη στο χρόνο, είναι ότι οι 8.000 περίπου στρατιώτες και αξιωματικοί διαφέρουν στο ύψος –, για παράδειγμα, οι επικεφαλής είναι πιο ψηλοί– αλλά και στην έκφραση και στο σχήμα του προσώπου, στη στολή και στον εξοπλισμό, στοιχεία που καθιστούν κάθε στρατιώτη μοναδικό.

Παρέμενε ωστόσο άγνωστο αν κάθε στρατιώτης είναι πράγματι μοναδικός ή αν χρησιμοποιήθηκε ένας αριθμός προτύπων, για κάθε 100 ή 200 ας πούμε στρατιώτες, όπως άλλωστε κάνει και η φύση: κάθε άνθρωπος είναι μοναδικός, όμως εντάσσεται σε μια ομάδα με όμοια μορφολογικά χαρακτηριστικά, που λες και προέρχονται από τον ίδιο γονέα. Αυτό βέβαια το κάνει η φύση για λόγους οικονομίας.

Το ερώτημα με τους πολεμιστές από τερακότα, αν δηλαδή κατασκευάστηκαν με βάση κάποιο πρότυπο ή οι αναπαραστάσεις τους βασίστηκαν σε πραγματικούς στρατιώτες του στρατού του αυτοκράτορα, είναι ένα από τα μεγάλα μυστήρια που περιβάλλει τους ακοίμητους πολεμιστές.

China’s Terracotta Army, 3D: A computer-vision rendering of a soldier from the terracotta army. The collaborative research project team, led by Andrew Bevan, Xiuzhen Janice Li and Marcos Martinón-Torres, have built 3D models of the terracotta warriors using a recent variant on photogrammetry probably best termed ‘Structure-from-Motion’ or SfM. SfM models are made in several steps, involving photo-capture, image-masking, camera alignment and point-cloud construction. The key to making the technique work well is to achieve considerable overlap between photographs as this allows software to identify shared features visible in multiple images (the ‘motion’ of moving from one camera perspective to another). For instance, the terracotta warrior from Pit 1 shown on fig. 1 was captured via SfM. As a result, one can explore an interactive 3D model of the head. Credit: Andrew Bevan

Οι αρχαιολόγοι είναι σε θέση τώρα να απαντήσουν στο ερώτημα κάνοντας χρήση τρισδιάστατων εικόνων υψηλής ευκρίνειας. Συγκεκριμένα, τράβηξαν φωτογραφίες κάθε πολεμιστή από διαφορετικές γωνίες έτσι ώστε να έχουν τρισδιάστατα πρότυπα. Στη συνέχεια εισήγαγαν έναν αλγόριθμο για να εντοπιστούν τυχόν ομοιότητες.

China’s Terracotta Army, 3D: Examples of twelve different ears (heights have been standardised). A sample of ears from the Qin Terracotta warriors were modelled and analysed and initial results indicate considerable variation across of the figures. This tentatively supports the hypothesis that the warriors were intended to constitute a real army, whose weapons were standardised (and lethal) but whose individual soldiers were not. Photo: Journal of Archaeological Science 49 (2014).

Όπως αναφέρει το περιοδικό Nature, η ομάδα που μελετά τους πολεμιστές έκανε μια σημαντική διαπίστωση: τα αφτιά κάθε πολεμιστή διαφέρουν από των υπολοίπων, που σημαίνει ότι έχουν ληφθεί από υπαρκτά πρόσωπα.

Αυτό κατά μία έννοια είναι μεγάλη τιμή για τους πολεμιστές, τα μοναδικά χαρακτηριστικά των οποίων αποτυπώθηκαν στον ψημένο πηλό. Η ομάδα των αρχαιολόγων προσπαθεί τώρα να αναλύσει και άλλα χαρακτηριστικά για να δουν αν οι πολεμιστές διαφέρουν σε εθνικότητα.

Ο στρατός από τερακότα ανακαλύφθηκε στις 29 Μαρτίου 1974 από μια ομάδα εργατών που έσκαβαν ένα πηγάδι στην επαρχία Χσιάν της Κίνας. Βρίσκεται στο μαυσωλείο του πρώτου Κινέζου αυτοκράτορα Τσιν Σι Χουάνγκ (Qin Shi Huang), ο οποίος αυτοανακηρύχτηκε αυτοκράτορας το 221 π.Χ. αφού κατάφερε να υποτάξει έξι αντιμαχόμενα κράτη και να ενώσει την Κίνα.