Μια νέα κατηγορία πρώτων αριθμών που είναι «ψηφιακά ευαίσθητοι». Mathematicians Find a New Class of Digitally Delicate Primes

Παρατηρείστε τους αριθμούς 294.001, 505.447 και 584.141. Βλέπετε κάτι ιδιαίτερο σ’ αυτούς; Ίσως να αναγνωρίσετε ότι όλοι είναι πρώτοι αριθμοί – αριθμοί που διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους και την μονάδα. Όμως οι συγκεκριμένοι πρώτοι είναι κάπως ασυνήθιστοι. Despite finding no specific examples, researchers have proved the existence of a pervasive kind of prime number so delicate that changing any of its infinite digits renders it composite. Credit: Matt Twombly for Quanta Magazine

Εάν επιλέξετε ένα μόνο ψηφίο σε οποιονδήποτε από αυτούς τους αριθμούς και το αλλάξετε, τότε ο νέος αριθμός δεν είναι πρώτος αριθμός. Για παράδειγμα, στην θέση του το 1 στον αριθμό 294.001 βάλτε το 7, και ο αριθμός που προκύπτει διαιρείται με 7. Βάλτε αντί του 1 το 9 και ο νέος αριθμός διαιρείται με 3.

Αυτοί οι αριθμοί ονομάζονται “ψηφιακά ευαίσθητοι αριθμοί” και είναι μια σχετικά πρόσφατη μαθηματική εφεύρεση. Το 1978, ο μαθηματικός Murray Klamkin αναρωτήθηκε αν υπήρχαν αριθμοί με αυτή την ιδιότητα. Η ερώτησή του έλαβε μια γρήγορη απάντηση από τον πιο παραγωγικό σε λύσεις προβλημάτων παντός τύπου, τον Paul Erdős. Αποδείχθηκε όχι μόνο ότι υπάρχουν, αλλά και ότι το πλήθος τους είναι άπειρο – ένα αποτέλεσμα που ισχύει όχι μόνο για τους αριθμούς του δεκαδικού συστήματος, αλλά και για οποιοδήποτε σύστημα αριθμών. Έκτοτε, άλλοι μαθηματικοί επέκτειναν το αποτέλεσμα του Erdős, όπως ο Terence Tao, ο οποίος απέδειξε σε δημοσίευση του 2011 ότι μια «θετική αναλογία» των πρώτων αριθμών είναι ψηφιακά ευαίσθητοι πρώτοι (και πάλι, για όλα τα συστήματα αρίθμησης). Αυτό σημαίνει ότι η μέση απόσταση μεταξύ διαδοχικών ψηφιακών ευαίσθητων πρώτων παραμένει αρκετά σταθερή καθώς οι ίδιοι οι πρώτοι αριθμοί γίνονται πολύ μεγάλοι – με άλλα λόγια, οι ψηφιακοί ευαίσθητοι αριθμοί δεν θα γίνονται όλο και πιο σπάνιοι μεταξύ των πρώτων αριθμών.

In new research, mathematicians have revealed a new category of “digitally delicate” prime numbers. These infinitely long primes turn back to composites faster than Cinderella at midnight with a change of any individual digit. AMTITUS / GETTY IMAGES

Τώρα, με δύο πρόσφατες δημοσιεύσεις, ο Michael Filaseta του Πανεπιστημίου της Νότιας Καρολίνας έχει προχωρήσει την ιδέα περαιτέρω, παρουσιάζοντας μια ακόμη πιο σπάνια κατηγορία ψηφιακά ευαίσθητων πρώτων αριθμών. «Είναι ένα αξιοσημείωτο αποτέλεσμα», δήλωσε ο Paul Pollack του Πανεπιστημίου της Γεωργίας.

Παρακινούμενος από τις εργασίες των Erdős και Tao, ο Filaseta αναρωτήθηκε τι θα συνέβαινε αν τοποθετούσαμε μια άπειρη σειρά από μηδενικά ως τμήμα ενός πρώτου αριθμού. Παρόλο που οι αριθμοί 53 και …0000000053 έχουν την ίδια τιμή, αλλάζοντας ένα από αυτά τα άπειρα μηδενικά τότε αν ο νέος αριθμός είναι σύνθετος θα είχαμε έναν ψηφιακά ευαίσθητο πρώτο αριθμό;

Ο Filaseta αποφάσισε να ονομάσει αυτούς τους αριθμούς, υποθέτοντας ότι υπήρχαν, «εκτεταμένα ψηφιακά ευαίσθητους» και διερεύνησε τις ιδιότητές τους σε δημοσίευση του 2020 με τον πρώην μεταπτυχιακό φοιτητή του, Jeremiah Southwick.

Δεν αποτελεί έκπληξη ότι η συνθήκη που προστέθηκε κάνει τους αριθμούς αυτούς πολύ δύσκολο να βρεθούν. «Το 294.001 είναι ψηφιακά ευαίσθητος πρώτος, αλλά όχι εκτεταμένα ψηφιακά ευαίσθητος» λέει ο Pollack, «αφού αν αλλάξουμε …000.294.001 σε… 010.294.001, παίρνουμε 10.294.001» – έναν άλλο πρώτο αριθμό.

Στην πραγματικότητα, οι Filaseta και Southwick δεν μπόρεσαν να βρουν ένα παράδειγμα στη βάση 10 ενός εκτεταμένα ψηφιακά ευαίσθητου πρώτου, παρά το ότι τους αναζήτησαν σε όλους τους ακέραιους αριθμούς έως και 1.000.000.000. Αλλά αυτό δεν τους εμπόδισε να αποδείξουν κάποιες ισχυρές προτάσεις σχετικά με αυτούς τους υποθετικούς αριθμούς.

Πρώτον, έδειξαν ότι τέτοιοι αριθμοί είναι πράγματι υπάρχουν στο δεδκαδικό σύστημα και, επιπλέον, υπάρχει ένας άπειρος αριθμός από αυτόυς. Πηγαίνοντας ένα βήμα παραπέρα, απέδειξαν επίσης ότι ένα θετικό ποσοστό των πρώτων αριθμών είναι εκτεταμένα ψηφιακά ευαίσθητο, όπως ακριβώς απέδειξε και ο Τάο για τους ψηφιακά ευαίσθητους αριθμούς. (Στη διδακτορική του διατριβή, ο Southwick απέδειξε το ίδιο και για τις βάσεις 2 έως 9, 11 και 31.)

Ο Pollack εντυπωσιάστηκε με τα ευρήματα, δηλώνοντας ότι «Υπάρχουν πάρα πολλά πιθανά πράγματα που επιτρέπεται να κάνετε σε αυτούς τους αριθμούς και, ανεξάρτητα από το τι κάνετε, υπάρχει εγγυημένα σύνθετη απάντηση».

Η απόδειξη βασίστηκε σε δύο εργαλεία. Το πρώτο, που ονομάζεται κάλυψη συστημάτων, ανακαλύφθηκε από τον Erdős το 1950 για να λύσει ένα διαφορετικό πρόβλημα στη θεωρία αριθμών. «Αυτό που κάνει μία ‘κάλυψη συστήματος’», λέει ο Southwick, «είναι να σας δώσει έναν μεγάλο αριθμό κάδων, μαζί με μια εγγύηση ότι κάθε θετικός ακέραιος αριθμός βρίσκεται σε τουλάχιστον έναν από αυτούς τους κάδους». Αν, για παράδειγμα, διαιρέσετε όλους τους θετικούς ακέραιους με το 2, θα καταλήξετε με δύο κάδους: έναν που περιέχει τους άρτιους αριθμούς στους οποίους το υπόλοιπο είναι 0 και έναν που περιέχει τους περιττούς αριθμούς στους οποίους το υπόλοιπο είναι 1. Με αυτόν τον τρόπο, όλοι οι ακέραιοι αριθμοί έχουν «καλυφθεί» και οι αριθμοί που καταλαμβάνουν τον ίδιο κάδο θεωρούνται «σύμφωνοι» μεταξύ τους.

Ασφαλώς, η κατάσταση που περιλαμβάνει εκτεταμένα ψηφιακά ευαίσθητους αριθμούς είναι πιο περίπλοκη. Θα χρειαστείτε πολύ περισσότερους κάδους, της τάξης του 10²⁵⁰⁰⁰, και σε έναν από αυτούς τους κάδους κάθε πρώτος αριθμός είναι σίγουρο ότι θα γίνει σύνθετος αν αυξηθεί οποιοδήποτε από τα ψηφία του, συμπεριλαμβανομένων και των μηδενικών του.

Αλλά για να είναι εκτεταμένα ψηφιακά ευαίσθητος, ένας πρώτος αριθμός πρέπει επίσης να γίνεται σύνθετος αν μειωθεί οποιοδήποτε από τα ψηφία του. Εκεί υπεισέρχεται το δεύτερο εργαλείο, που ονομάζεται κόσκινο. Οι μέθοδοι κοσκινίσματος, που κρατάνε από τους αρχαίους Έλληνες, προσφέρουν έναν τρόπο απαρίθμησης, εκτίμησης ή καθορισμού ορίων του πλήθους των ακεραίων που ικανοποιούν ορισμένες ιδιότητες. Οι Filaseta και Southwick χρησιμοποίησαν την μέθοδο αυτή, που προσεγγίζει τον τρόπο που υιοθέτησε ο Tao το 2011, για να δείξει ότι αν πάρετε πρώτους αριθμούς στον προαναφερθέντα κάδο και μειώσετε ένα από τα ψηφία, ένα θετικό ποσοστό αυτών των πρώτων θα γίνει σύνθετο. Με άλλα λόγια, ένα θετικό ποσοστό αυτών των πρώτων είναι εκτεταμένα ψηφιακά ευαίσθητο.

«Το θεώρημα του Filaseta-Southwick», λέει ο Pollack, «είναι μια όμορφη και απρόσμενη απεικόνιση της δύναμης της μεθόδου ‘κάλυψη συστημάτων’».

Ο Michael Filaseta, ‘φοράει’ τους πρώτους 20 ψηφιακά ευαίσθητους πρώτους αριθμούς. Michael Filaseta, of the University of South Carolina, has helped prove the existence and extensiveness of “widely digitally delicate” prime numbers — each is so sensitive that changing any of its infinite digits makes it composite. Here, his sweatshirt lists the first 20 digitally delicate primes. Credit: Zach White / University of South Carolina

Στη συνέχεια, σε μια δημοσίευση του περασμένου Ιανουαρίου, ο Filaseta και ο σημερινός μεταπτυχιακός φοιτητής του Jacob Juillerat υποστήριξαν έναν ακόμη πιο εκπληκτικό ισχυρισμό: Υπάρχουν αυθαίρετα μεγάλες ακολουθίες διαδοχικών πρώτων, καθεμία από τις οποίες είναι εκτεταμένα ψηφιακά ευαίσθητες. Θα ήταν δυνατό, για παράδειγμα, να βρεθούν 10 διαδοχικοί πρώτοι που είναι εκτεταμένα ψηφιακά ευαίσθητοι. Αλλά για να το κάνετε αυτό, θα πρέπει να εξετάσετε έναν τεράστιο αριθμό πρώτων, λέει ο Filaseta, ‘πιθανώς μεγαλύτερο από τον αριθμό των ατόμων στο παρατηρήσιμο σύμπαν’. Οι πιθανότητες να το κάνουμε είναι εξαιρετικά μικρές, αλλά εξακολουθούν να είναι μη μηδενικές.

Αρχικά, χρησιμοποίησαν την μέθοδο κάλυψης συστημάτων για να αποδείξουν ότι υπάρχει ένας κάδος που περιέχει άπειρο πλήθος πρώτων, που όλοι τους είναι εκτεταμένα ψηφιακά ευαίσθητοι. Στο δεύτερο βήμα, εφάρμοσαν ένα θεώρημα, το οποίο αποδείχθηκε το 2000 από τον Daniel Shiu, για να δείξουν ότι κάπου στη λίστα όλων των πρώτων, υπάρχει αυθαίρετος αριθμός διαδοχικών πρώτων που περιέχονται σε αυτόν τον κάδο. Αυτοί οι διαδοχικοί πρώτοι, λόγω του ότι βρίσκονται σε αυτόν τον κάδο, είναι αναγκαστικά εκτεταμένα ψηφιακά ευαίσθητοι.

Ο Carl Pomerance από το Κολλέγιο του Dartmouth College μελετώντας αυτά τα άρθρα, αποκάλεσε τον Filaseta «μετρ στην εφαρμογή της μεθόδου κάλυψης συστημάτων σε πολλά ενδιαφέροντα προβλήματα θεωρίας αριθμών. Τα μαθηματικά μπορούν να είναι μια άσκηση που δημιουργεί ισχυρά εργαλεία, αλλά μπορούν επίσης να είναι απλώς διασκεδαστικά.»

Ταυτόχρονα, σύμφωνα με τον Pomerance, παριστάνοντας έναν αριθμό στη βάση του 10 μπορεί να είναι βολικό, «αλλά δεν φτάνει στην ουσία του τι είναι πραγματικά αυτός ο αριθμός.» Υπάρχουν πιο θεμελιώδεις τρόποι αναπαράστασης των αριθμών, όπως ο τρόπος με τον οποίο ορίζονται οι πρώτοι αριθμοί Mersenne – πρώτοι αριθμοί της μορφής 2^p – 1, όπου p πρώτος.

Ο Filaseta συμφωνεί. Παρ ‘όλα αυτά, τα πρόσφατα άρθρα εγείρουν ερωτήματα που ίσως αξίζει να εξερευνηθούν. Ο Filaseta είναι περίεργος για το αν υπάρχουν εκτεταμένα ψηφιακά ευαίσθητοι πρώτοι σε κάθε βάση. Ο Juillerat, από την πλευρά του, αναρωτιέται αν «υπάρχει άπειρο πλήθος πρώτων πρώτων που γίνονται σύνθετοι όταν εισάγουμε ένα ψηφίο επιπλέον μεταξύ δύο ψηφίων του, αντί να αντικαθιστούμε απλά ένα ψηφίο».

Μια άλλη προκλητική ερώτηση θέτει ο Pomerance: Μήπως όλοι οι πρώτοι καθώς πλησιάζουμε στο άπειρο γίνονται τελικά ψηφιακά ευαίσθητοι ή εκτεταμένα ψηφιακά ευαίσθητοι; Ισοδύναμα, υπάρχει πεπερασμένος αριθμός πρώτων που δεν είναι ψηφιακά ευαίσθητοι (ή εκτεταμένα ψηφιακά ευαίσθητοι); Διαισθάνεται ότι η απάντηση σε αυτό το ερώτημα, πρέπει να είναι όχι. Αλλά αυτός και ο Filaseta το θεωρούν μια ενδιαφέρουσα εικασία, που κανείς προς το παρόν δεν ξέρει πώς να την αποδείξει χωρίς να βασιστεί σε μια άλλη μη αποδεδειγμένη εικασία.

«Το χαρακτηριστικό της μαθηματικής έρευνας είναι ότι δεν ξέρετε εκ των προτέρων αν μπορείτε να λύσετε ένα δύσκολο πρόβλημα ή αν θα σας οδηγήσει σε κάτι σημαντικό», λέει ο Pomerance. «Δεν μπορείτε να αποφανθείτε εκ των προτέρων: Σήμερα θα πραγματοποιήσω κάτι πολύ σημαντικό. Αν και φυσικά είναι υπέροχο όταν πράγματι συμβαίνει.»

Πηγές: https://www.quantamagazine.org/mathematicians-find-a-new-class-of-digitally-delicate-primes-20210330/ - https://physicsgg.me/2021/09/06/