Αυτο- και ετερο- αξιολογημένοι

MC Escher, Still Life

Δύο οι απωθημένες εμπειρίες που εξ ανάγκης ανακαλώ: αφενός το πανοπτικό σύστημα διοίκησης ενός ιδιωτικού σχολείου, όπου είχα την ατυχία να λάβω το βάπτισμα του εκπαιδευτικού πυρός, και αφετέρου ο ολοκληρωτικός τρόπος διοίκησης ενός δημόσιου σχολείου, όπου είχα την ατυχία να υπηρετήσω λίγα χρόνια πριν.

Θυμάμαι ότι και στις δύο περιπτώσεις έμπαινα με σκυμμένο το κεφάλι και την ουρά στα σκέλια. Μαγκωμένος. Μετρούσα κάθε λέξη από φόβο. Με τους μαθητές διεκπεραιωτικός και με τους συναδέλφους απολύτως τυπικός. Ή σχεδόν συνωμοτικός, στις ελάχιστες περιπτώσεις που γινόταν ένα βήμα παραπάνω. Και δεν μιλάω μόνο για ό,τι συνέβαινε εντός της σχολικής μονάδας. Παντού τριγύρω ορθάνοιχτα αυτιά και αδιάκριτα μάτια. Σε τοίχους, σε θρανία, σε γραφεία, σε καφετέριες. Ένα δίκτυο προθύμων, που τότε απλώς προαισθανόμουν, με κύκλωνε ασφυκτικά. Εκ των υστέρων  αντιλήφθηκα ότι ήταν μεγαλύτερο απ' όσο θα ήθελα να νομίζω.

Οι χειρότερες χρονιές μου. Όχι από άποψη εργασιακών συνθηκών, που έκαναν σχεδόν κάθε μέρα να μοιάζει με μια μικρή ήττα ή σε ορισμένες περιπτώσεις και με μια ολοκληρωτική πανωλεθρία της κοινής λογικής, της επαγγελματικής αξιοπρέπειας και της παιδαγωγικής επιστήμης. Πρωτίστως από άποψη διδακτικού έργου, εννοώ προσφοράς προς τους μαθητές.

Αναπόφευκτα. Δεν ήμουν - δεν μπορούσα να είμαι αφοσιωμένος. Κι ήρεμος.

 MC Escher, Eye    

Αναρωτιέμαι όμως πόσο αφοσιωμένος και ήρεμος μπορώ να είμαι από δω και πέρα. Μιλάω για τον καινούριο επιθεωρητισμό που μπάζει από το παράθυρο η αυτο- και η ετερο- αξιολόγηση της σχολικής μονάδας και του εκπαιδευτικού έργου.

Αφήνω τις ιδεολογικές μου ενστάσεις, ότι μετατίθεται η ευθύνη για τις ταξικές και λοιπές ανισότητες στις πλάτες των εκπαιδευτικών. Αφήνω τις συνδικαλιστικές μου ενστάσεις, ότι προσφέρεται μια εξαιρετική νομιμοποιητική βάση για τις απολύσεις και την ανατροπή των εργασιακών σχέσεων.

Και πιάνω το κομμάτι του παιδαγωγικού κλίματος. Εννοώ την αναγκαία αφοσίωση και ηρεμία. Έχουμε και λέμε, λοιπόν.

MC Escher, Relativity

Με τον σχολικό σύμβουλο να ποσοτικοποιεί με δείκτες την επαφή μου με τους μαθητές. Με τον διεθυντή να συνυπολογίζει στην αξιολόγησή μου τη στάση που υιοθετώ στις συνεδριάσεις του συλλόγου. Με τον συνάδελφό μου να με κοιτάει καχύποπτα κάθε φορά που μπαίνω στο γραφείο της υποδιεύθυνσης.

 MC Escher, Belvedere - Detail

Ένα ατέλειωτο κυνήγι χαρτούρας, μια συνεχής εξάσκηση διπλωματίας, μια ατέλειωτη τελετουργία γονυκλισίας ξανά και ξανά, με τους πιο επιτήδειους να επιπλέουν, όπως συνέβαινε πάντα, και με όλους τους άλλους να μοιράζονται εσαεί την ίδια ακριβώς αγωνία, ένταση και ανασφάλεια των υπό αξιολόγηση μαθητών της γ' λυκείου.

MC Escher, Belvedere  

Πάνω από δύο αιώνες μετά το πανοπτικό του Μπέθαμ και έναν αιώνα μετά τον καφκικό πύργο, η πολιτική εξουσία οραματίζεται ξανά ανθρώπους ζόμπι. Δυο χρόνια που υπήρξα τέτοιο ζόμπι, ήταν αρκετά για να καταλάβω τον παραλογισμό της υπόθεσης. Και αν τότε είχα κάποιους συναδέλφους για να ακουμπάω κάθε φορά που ψιλοόρθωνα το ανάστημα στον παραλογισμό και στην αυθαιρεσία της μικροεξουσίας του σχολείου, τώρα δεν θα υπάρχει ούτε αυτό.

MC Escher, Rind

Σαλαμοποιημένοι. Τεμαχισμένοι. Αυτο- και ετερο- ενοχοποιημένοι. Εντελώς μόνοι.  

Του Παναγιώτη Χατζημωυσιάδη

Η Άλγεβρα των αρχαίων Ελλήνων. The Algebra of the ancient Greeks

Raphael, School of Athens, 1509, Hellenistic mathematician Euclid details geometrical algebra. Αντίθετα με ό,τι πιστεύαμε ως σήμερα, η Άλγεβρα δεν είναι επινόηση των Αράβων. Νέα μελέτη αποδεικνύει ότι παλαιότερα οι αρχαίοι Έλληνες είχαν εφεύρει «αλγεβρικούς» τρόπους επίλυσης πρακτικών προβλημάτων.

Αν θέλεις να έχεις επιτυχία στο ψάξιμο των παλαιών χειρογράφων, καλό είναι να αποκτήσεις μερικά από τα προσόντα που διέθεταν οι παλιές κεντήστρες. Μάτι εξασκημένο στις λεπτομέρειες, παρατηρητικότητα, αυτοσυγκέντρωση, πειθαρχία, υπομονή, γνώσεις για την κάθε βελονιά και αντίστοιχα για το κάθε σημαδάκι που θα συναντήσεις, αξίζει να δίνεις σημασία ακόμη και στα περιθώρια, να έχεις μια αίσθηση για το έργο ολοκληρωμένο, επίσης να διαθέτεις πείρα, λίγη τύχη ίσως, και μαζί με όλα τα προηγούμενα άπειρο χρόνο.

Ευτυχώς υπάρχουν ακόμη άνθρωποι που τους ενδιαφέρει να περνούν, όχι ημέρες και εβδομάδες μόνο, αλλά χρόνια ολόκληρα, κάνοντας αυτό χωρίς καν αμοιβή και καθηγητές Πανεπιστημίου που πέρα από την καθοδήγηση να μπορούν να εκτιμήσουν ένα εύρημα.

Γιάννης Χριστιανίδης, Jean Christianidis.

«Βρήκα κάτι που νομίζω ότι θα σας ενδιαφέρει. Στα σχόλια του Θέωνα, στο βιβλίο 13 της "Σύνταξης", υπάρχει σε αρκετά σημεία η παραπομπή "ζήτει το εξής εν τοις σχολίοις"...». Έτσι άρχιζε ένα ηλεκτρονικό μήνυμα που η μαθηματικός, υποψήφια διδάκτωρ κυρία Ιωάννα Σκούρα έστελνε στον καθηγητή της κ. Γιάννη Χριστιανίδη, αναπληρωτή καθηγητή στην Ιστορία των Μαθηματικών στο τμήμα το ειδικό για τη Θεωρία της Επιστήμης (ΜΙΘΕ). Ο καθηγητής με τη σειρά του, όντας ένας από τους πιο αφοσιωμένους μελετητές του Διόφαντου, κατάλαβε από την αρχή ότι αυτό το κάτι θα ενδιέφερε πολύ περισσότερους από τους λίγους ειδικούς μελετητές του Πτολεμαίου, του Διόφαντου, των σχολίων του Θέωνος και της ύστερης ελληνικής αρχαιότητας. Ότι θα έδινε μια καινούργια διάσταση στην άποψη τη σχετική με την ευχέρεια της χρήσης από τους έλληνες μαθηματικούς «αλγεβρικών» μεθόδων επίλυσης προβλημάτων. Αιώνες προτού οι Άραβες μάς παρουσιάσουν τη δική τους, αναμφισβήτητα χρήσιμη, συστηματοποίηση των αλγεβρικών μεθόδων, μετά τον 9ο αιώνα μ.Χ.

Το άλμα στις εξισώσεις

Μέσα σε αυτά τα δύο έγγραφα κρύβεται μια σημαντική για τα ελληνικά Μαθηματικά ανακάλυψη. Χρειάζεται βέβαια αρκετή εξάσκηση και υπομονή για να βρεις δεξιά την παραπομπή στο σχόλιο του Θέωνος (ένατη γραμμή από κάτω) και μετά να πας και γύρω από το κυρίως κείμενο του Πτολεμαίου να ανακαλύψεις, κάπου εκεί στη μέση, την αρχή του σχολίου.

Όπως εξηγεί ο κ. Χριστιανίδης, υπάρχει μια γενικότερη διελκυστίνδα σε παγκόσμιο πλέον επίπεδο σχετικά με τη συνεισφορά των Αράβων ως προς αυτό που ονομάζουμε «Άλγεβρα». Τα εισαγωγικά εδώ μπαίνουν για να τονιστεί πως δεν πρόκειται για την ολοκληρωμένη μορφή του οικοδομήματος που σήμερα γνωρίζουμε, ως ξεχωριστό κλάδο των Μαθηματικών με αρνητικούς και θετικούς αριθμούς, με μεταβλητές και παραμέτρους, με θεωρήματα για ομάδες, δακτυλίους και σώματα. Αυτό που πήρε τότε το όνομα Άλγεβρα ήταν στον πυρήνα του η έκφραση με εξισώσεις ενός γενικού τρόπου να λύνεις προβλήματα. Με δυο λόγια, είχαν από την εποχή του Διόφαντου τουλάχιστον και δεν ξέρουμε ακόμη πόσο πιο πριν, οι έλληνες μαθηματικοί βρει τον τρόπο προβλήματα που λύνονταν συνήθως μια περίπλοκη σειρά αλγοριθμικών βημάτων, με πρακτική αριθμητική όπως λέγαμε στο δημοτικό σχολείο, να τα λύνουν μεταφράζοντας το πρόβλημα σε εξίσωση με τη χρησιμοποίηση κάτι αντίστοιχου με τον δικό μας σημερινό άγνωστο Χ. Δηλαδή να καταστρώνουν και εκείνοι μια εξίσωση και να φθάνουν πολύ πιο εύκολα στο αποτέλεσμα.

Η σημασία της ανακάλυψης που έγινε στην έδρα της Ιστορίας των Μαθηματικών από τους Χριστιανίδη και Σκούρα έγκειται στο ότι βρέθηκε και αποδείχθηκε πως ο μαθηματικός Θέων χρησιμοποίησε και σε άλλα πεδία την «αλγεβρική» μέθοδο του Διόφαντου, που ήταν μάλλον σε κοινή χρήση από τους τότε ανθρώπους, για τη λύση πρακτικών αριθμητικών προβλημάτων. Προχώρησε δηλαδή στη λύση ενός καθαρά γεωμετρικού μετρητικού προβλήματος, με προέλευση από την αστρονομία, αφού σχετιζόταν με την τροχιά του πλανήτη Άρη, μετατρέποντάς το σε εξίσωση. Ήταν η πρώτη φορά, με τη βοήθεια του χειρογράφου και των σχολίων των χαραγμένων επάνω σε αυτό, που επιβεβαιώθηκε κάτι τέτοιο και έχει σαν σημαντική συνέπεια να θεωρούμε ότι κάπου αλλού μάλλον βρίσκονται οι ρίζες αυτής της πρωτόφτιαχτης, προ-νεωτεριστικής (pre-modern) Αλγεβρας από ό,τι για χρόνια πιστευόταν.

Μια σχολή μελετητών επιμένει ότι όλα τα ξεκίνησαν οι Άραβες και ότι πριν δεν υπήρχε τίποτε σχετικό με τη μαθηματική σκέψη με αλγεβρικούς όρους. Απέναντι σε αυτή την άποψη αντιπαρατέθηκε μια άλλη επίσης απολυταρχική σχολή. «Οι Άραβες δεν έκαναν τίποτε παραπάνω από το να μεταφράσουν και να διασώσουν κείμενα και δεν προσέθεσαν μια γραμμή στο σώμα των ήδη γνωστών μαθηματικών θεωριών». Τώρα, μετά και την αποδοχή του ευρήματος των δύο ελλήνων μαθηματικών και τη δημοσίευση, έπειτα από κρίση, σε ένα από τα αυστηρότερα περιοδικά του χώρου, στο ιαπωνικό SCIAMVS (14, 2013 41-57), μπορούμε να λέμε ότι πλέον μάλλον θα ανιχνευθούν προς διαφορετική κατεύθυνση οι βασικές ρίζες της Άλγεβρας. Ο Διόφαντος και ο Θέων δείχνουν την κατεύθυνση αυτή.

Ψηλαφώντας τα χειρόγραφα

Ένας ερευνητής, και μάλιστα Έλληνας, μπορεί, αντί να βασιστεί στις εκδόσεις των έργων των αρχαίων ελλήνων μαθηματικών από άλλους, και μάλιστα ξένους, να καθήσει να τα διαβάσει προσεκτικά ο ίδιος. Δεν είναι απλό, αλλά συχνά ανταμείβεται για την υπομονή του και την επένδυση σε χρόνο, αφού πρέπει πρώτα να περάσεις και από μια εκπαίδευση στην ανάγνωση παλαιογράφων. Στην περίπτωση λοιπόν των σχολίων του Θέωνος, χρησιμοποιήθηκε ένα αντίγραφο σε ηλεκτρονική μορφή από τον λεγόμενο κώδικα Vaticanus Graecus 198. Εκεί υπάρχει και το δέκατο τρίτο βιβλίο των σχολίων του Θέωνα αλλά δεν προσφέρεται για απλή και απρόσκοπτη ανάγνωση. Ίσως και γι' αυτό να πέρασε σχετικά ανεκμετάλλευτο ως σήμερα. Υπάρχει το λεγόμενο τρέχον κείμενο, αλλά συχνά εδώ διακόπτεται η ροή με την υπόδειξη προς τον αναγνώστη «ζήτει το εξής εν τοις σχολίοις» ή «ζήτει το εξής εν τοις σχολίοις μέχρι τέλους».

Justus van Gent (c.1410 – c.1480), Portrait of Claudius Ptolemy (c. 1475), Louvre Museum. Font: Wikimedia Commons.

Με αυτή την κάπως γριφώδη για τον αμύητο προτροπή ο Θέων, διακόπτοντας τη ροή του κειμένου του, στέλνει τον αναγνώστη στο κείμενο του Πτολεμαίου, που βρίσκεται και αυτό γραμμένο σε άλλο σημείο του πακέτου όλων αυτών των φύλλων που συγκροτούν τον κώδικα μαζί με τα αντίστοιχα σχόλια μεταφερμένα με επιμέλεια στο περιθώριο από τον άγνωστο αντιγραφέα. «Αναζήτησε τη συνέχεια στα σχόλια» ή «αναζήτησε τη συνέχεια και διάβασε εκεί το τέλος του (συγκεκριμένου) θέματος», διότι ο συγγραφέας εννοούσε πως στο ρέον κυρίως κείμενό του θα καταπιαστεί με κάτι καινούργιο. Και όταν έχεις την υπομονή να φθάσεις ως εκεί ακολουθώντας τα υπομνηστικά σημάδια, πρέπει στη συνέχεια να αναγνωρίσεις από τα ίχνη που έχει αφήσει στο περιθώριο ο (αντι)γραφέας για ποιο από όλα τα εκεί χαοτικά τοποθετημένα σχόλια πρόκειται.

Η γλώσσα των Μαθηματικών τότε

llustration of the Ptolemic system. Harmonia Macrocosmica by Andreas Cellarius (1661). Font: Wikimedia Commons.

Στη συγκεκριμένη περίπτωση ο Θέων σε ένα αστρονομικό πρόβλημα του Πτολεμαίου, όπου υπάρχει και ένα συνοδευτικό γεωμετρικό σχήμα, εκτός από τη γεωμετρική απόδειξη που κάθεται και (ξανα)κάνει, συνεχίζει και μεταφράζει τα δεδομένα και τα ζητούμενα μεγέθη στη γλώσσα που είχε εισαγάγει ο Διόφαντος, με τρόπο που να σχηματιστεί μια εξίσωση. Αλλά και αυτό είναι απλό να το παρουσιάζεις περιγραφικά αλλά όχι το ίδιο εύκολο να το αναγνωρίσεις αν δεν κατέχεις τη μαθηματική γλώσσα της εποχής εκείνης. Μην ψάχνεις να βρεις κανέναν άγνωστο Χ ή τη στερεότυπη δράση που ξέρει και ο κάθε μαθητής σήμερα: χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, αλλάζω τα πρόσημα (δεν γινόταν λόγος τότε για αρνητικούς αριθμούς). Με δυο λόγια, δεν χρησιμοποιούσαν τον δικό μας συμβολισμό. Πρέπει λοιπόν κάποιος να κατέχει καλά τον Διόφαντο για να βγάλει νόημα και να εκτιμήσει την ανακάλυψη. Αφού λοιπόν στην εργασία τους οι δύο ερευνητές αναλύσουν όλη την επίλυση του Θέωνος, ασχολούνται ιδιαίτερα με μια φράση αποφασιστικής σημασίας: «διά της των Διοφαντείων αριθμών αγωγής».

Σύμφωνα με τον κ. Χριστιανίδη, τη λέξη αριθμός οι αλγεβριστές εκείνη την εποχή τη χρησιμοποιούσαν με δύο έννοιες: απλά για να δηλώσουν το σύμβολο που αντιπροσώπευε την αντίστοιχη αριθμητική αξία, δηλαδή ο αριθμός ε (το 5 της εποχής εκείνης), αλλά υπήρχε και μια δεύτερη έννοια πιο τεχνική, π.χ. με το όνομα «1 Αριθμός» εννοούσαν αυτό που εμείς σήμερα λέμε «άγνωστος Χ».  Επίσης ήταν γνωστοί και άλλοι τέτοιοι αλγεβρικοί αριθμοί, όπως «δύναμις», «κύβος», «δυναμοδύναμις»... Όλοι αυτοί οι αριθμοί συγκροτούν μια γλώσσα, την τεχνική γλώσσα της άλγεβρας της εποχής εκείνης, στην οποία μετέφραζαν το κάθε πρόβλημα. Προϊόν αυτής της μετάφρασης ήταν η εξίσωση. Έτσι μια έκφραση όπως «2 αριθμοί και 3 μονάδες είναι ίσα με 10 μονάδες» είναι μια εξίσωση, σαν τη δική μας 2Χ + 3 = 10. Αυτούς τους αριθμούς χαρακτηρίζει ο Θέων «Διοφαντείους αριθμούς». Στην ουσία ήταν τα αλγεβρικά εργαλεία της εποχής.

Επίσης αξιοπρόσεκτη είναι και η χρήση της λέξης «αγωγή». Εδώ φαίνεται ότι επρόκειτο για μια γνωστή και χρησιμοποιούμενη και από άλλους μέθοδο, κάτι ανάλογο με το δικό μας σημερινό «χρησιμοποίησα τη Μέθοδο των τριών για να το βρω». Άρα βγάζουμε και το συμπέρασμα ότι στη διάρκεια των χρόνων που μεσολάβησαν από τον Διόφαντο ως τον Θέωνα αυτές οι αλγεβρικές μέθοδοι όχι μόνο απαθανατίστηκαν και δεν χάθηκαν, αλλά ήταν πλέον ένα μαθηματικό εργαλείο σε χρήση. Και με τη διάχυσή τους αυτή για αρκετούς αιώνες κίνησαν αργότερα την προσοχή των αράβων μαθηματικών όπως ο Αλ Χουραΐζμι, οι οποίοι αναμφισβήτητα πήγαν και αυτοί τη γνώση λίγο παρακάτω.

Η ερευνητική ομάδα από το ΜΙΘΕ, προφανώς σε αναγνώριση της σημασίας της εργασίας αυτής, προσκλήθηκε και παρουσίασε την Τετάρτη 5 Μαρτίου τα σχετικά σε συνάντηση στο Παρίσι, τον Μάιο αυτό θα επαναληφθεί στο Λονδίνο, μετά στο Ισραήλ και μάλλον θα υπάρξουν και άλλοι που θα ήθελαν να μάθουν για το πώς ο Διόφαντος μέσα από τα σχόλια του περιθωρίου και την παρατηρητικότητα κάποιων ξαναμπαίνει στην κεντρική σκηνή. 

Έλληνες και Άραβες

Μεσαιωνικό φανταστικό πορτραίτο του Πτολεμαίου. Medival ideal portrait of Ptolemy.

Ο Κλαύδιος Πτολεμαίος έζησε περίπου από το 90 ως το 168 μ.Χ. στην Αλεξάνδρεια, έγραψε όλα τα έργα του στα ελληνικά και οι σύγχρονοί του παρ' όλο που λέγεται ότι καταγόταν από τη Νότια Αίγυπτο τον θεωρούσαν Έλληνα, αφού και το όνομά του ακόμη παρέπεμπε στον έλληνα επίγονο και διάδοχο του Αλεξάνδρου στην Αίγυπτο.

Ο ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ ΕΞΗΓΕΙ ΣΤΟΝ  REGIOMONTANUS ΚΑΤΩ ΑΠΟ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ΤΟΥ ΖΩΔΙΑΚΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΠΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΕΙ ΤΙΣ ΟΥΡΑΝΙΕΣ ΣΦΑΙΡΕΣ. ΠΡΟΜΕΤΩΠΙΔΑ ΑΠΟ ΤΗΝ «ΑΛ-ΜΑΓΕΣΤΗ» ΤΗΝ « ΜΕΓΙΣΤΗ» ΤΟΥ ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΥ, (ΒΕΝΕΤΙΑ, 1496).

Ένα από τα γνωστότερα έργα του, για αιώνες σύγγραμμα αναφοράς για την Αστρονομία, ήταν η λεγόμενη «Μαθηματική Σύνταξη», αποτελούμενη από 13 βιβλία, που οι βυζαντινοί λόγιοι την ανέφεραν ως «Μεγίστη Μαθηματική Σύνταξη» και όταν τη μετέφρασαν οι Άραβες έγινε πιο γνωστή, εξαιτίας και της πρόταξης του αραβικού άρθρου «Αλ», ως «Αλμαγέστη».

ΣΤΗΝ ΕΙΚΟΝΑ Ο ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΖΕΙ ΜΕ ΕΞΑΝΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΒΗΤΗ ΤΗ ΘΕΣΗ ΤΩΝ ΑΣΤΡΩΝ, ΕΝΩ ΕΝΑΣ ΜΑΘΗΤΗΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΦΕΡΕΙ ΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΣΤΗΝ ΥΔΡΟΓΕΙΟ. ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΣΕΛΙΔΑ ΤΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΟΥ ΧΕΙΡΟΓΡΑΦΟΥ ΤΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ ΤΟΥ ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΥ (PARISINUS GRAECUS, 15ΟΣ ΑΙΩΝΑΣ).

Πέρα από τους αστρονομικούς πίνακες τους σχετικούς με την κίνηση των πλανητών και άλλων ουρανίων σωμάτων, ο Πτολεμαίος ασχολείται και με διάφορα άλλα προβλήματα που απαιτούν μαθηματικούς υπολογισμούς. Μόνο που σε πολλά σημεία δεν κάνει τον κόπο να παρουσιάσει αναλυτικές αποδείξεις θεωρώντας αυτές ως κάτι ευκολοαπόδεικτο. Έτσι έδωσε την ευκαιρία σε έναν άλλο μαθηματικό, τον Θέωνα, διευθυντή στο Μουσείο της Αλεξανδρείας, που έζησε κατά το Λεξικό του Σουίδα την εποχή της αυτοκρατορίας του Θεοδοσίου Α' (379-395 μ.Χ.), πατέρα της δολοφονημένης από το πλήθος σπουδαίας γυναίκας μαθηματικού Υπατίας, να γράψει άλλα δεκατρία βιβλία γεμάτα με σχόλια αντίστοιχα το καθένα με αυτά του Πτολεμαίου. Τα σχόλια αυτά εκδόθηκαν για πρώτη φορά μαζί με τη «Μεγίστη» το 1538 στην κλασική έκδοση του Joachim Camerarius. Σε αυτά δηλαδή διευκρίνιζε, απεδείκνυε, συμπλήρωνε. Δυστυχώς έχουν χαθεί το ενδέκατο βιβλίο των σχολίων και τμήματα από το πέμπτο και από άλλα βιβλία. Έχουν εκδοθεί τα τέσσερα πρώτα το 1936-1943 από τον Rome, και εκείνος υπεδείκνυε στους επομένους από αυτόν να κοιτάξουν με επιμέλεια και τα επόμενα, αλλά η υπόδειξή του αυτή για δεκαετίες αγνοήθηκε.

Ο Διόφαντος

Diophantus of Alexandria

Ο Θέων είναι φανερό από τα σχόλιά του ότι ήταν απόλυτα εξοικειωμένος με τα Μαθηματικά του Διόφαντου. Του έλληνα μαθηματικού που έζησε στην Αλεξάνδρεια  περί το 300 μ.Χ. και είναι γνωστό πως χρησιμοποιούσε «αλγεβρικές μεθόδους» για να λύνει διάφορα αριθμητικά προβλήματα. 

Title page of the 1621 edition of Diophantus' Arithmetica, translated into Latin by Claude Gaspard Bachet de Méziriac.

Αυτά τού έδωσαν και το προσωνύμιο «πατέρας της Άλγεβρας», αλλά μιας Άλγεβρας περισσότερο πρακτικής από όσο τη γνωρίζουμε σήμερα, ευφυούς όμως και λειτουργικής για τις γνώσεις της εποχής. Ο Μοχάμαντ Ιμπν Μουσά αλ Χουραΐζμι (περίπου 787-850 μ.Χ.) ήταν ένας πέρσης μαθηματικός που έζησε στη Βαγδάτη, στο ανάκτορο του χαλίφη Αλ Μανσούρ. Εισήγαγε στα μαθηματικά τους ινδικούς αριθμούς και το θεσιακό δεκαδικό σύστημα, και το 820 εξέδωσε το πρώτο μεγάλο βιβλίο για την Άλγεβρα της εποχής, ενώ και η λέξη αλγόριθμος είναι παραφθορά του ονόματός του. Από εκείνη την εποχή αρχίζει και η μαθηματική επιστήμη να χρωματίζεται από την επαφή των αράβων μαθηματικών με αυτήν.

Πηγή: ΤΟ ΒΗΜΑ

Μια σκάλα προς τον ουρανό μέχρι τη Σελήνη! Futuristic Moon Elevator Idea Takes Aim at Lunar Lifts

Soft-landing payloads on the moon could be inexpensively done via a lunar space elevator. Credit: LiftPort Group

H ιδέα της κατασκευής ενός συστήματος μεταφοράς ανάμεσα στη Γη και την Σελήνη διαμέσου ενός καλωδίου δεν είναι και τόσο τρελή όσο ακούγεται. Αν εξαιρέσουμε τον μύθο της Βαβέλ και το παραμύθι «ο Τζακ και η φασολιά», η πρώτη σοβαρή αντιμετώπιση του προβλήματος έγινε από τον σοβιετικό μηχανικό Yuri N. Artsutanov, ο οποίος σε ένα άρθρο που δημοσίευσε το 1960, απέδειξε ότι η κατασκευή ενός ασανσέρ μεταξύ της Γης και ενός γεωστατικού δορυφόρου ήταν εφικτή.

Παρόμοια μελέτη σύνδεσης Γης και δορυφόρου με καλώδιο έκανε το 1975 και αμερικανός Jerome Pearson, όπου το βάρος του καλωδίου μεταξύ δορυφόρου και Γης εξισορροπείται από τη φυγόκεντρο δύναμη που δέχεται ένα δεύτερο καλώδιο – πέραν του δορυφόρου – που συνδέεται με ένα αντίβαρο (The orbital tower: a spacecraft launcher using the Earth’s rotational energy).

Inner workings of an operational Lunar Space Elevator Infrastructure (LSEI). Credit: LiftPort Group

Έκτοτε αρκετοί έχουν ασχοληθεί με το ζήτημα αυτό – είτε με το τεχνικό μέρος του συστήματος είτε με την επισήμανση των κινδύνων που εγκυμονεί μια τέτοια κατασκευή, στην περίπτωση αποκοπής του καλωδίου εξαιτίας σύγκρουσής του με μετεωρίτη και της αναπόφευκτης ελεύθερης πτώσης του με μεγάλη ταχύτητα προς την Γη. Πως θα μπορούσαμε να κατασκευάσουμε ένα ασανσέρ μεταξύ Γης και Σελήνης;

Στο ερώτημα αυτό απαντά το βίντεο της ομάδας LiftPort από το Σιάτλ, «Lagrangian Elevator To The Moon – Is It Possible?».

LiftPort Group of Seattle seems to think so. This private company proposes launching rockets from Earth to a 'Lagrange Point PicoGravity Lab' where cargo can be transferred to and from the lunar surface. Credit: LiftPort Group

Όμως, πέρα από τις πολύ ενδιαφέρουσες τεχνικές λεπτομέρειες προβλήματος, κάθε φορά που αναφέρεται η κατασκευή μιας σκάλας προς τον ουρανό, θυμόμαστε το τραγούδι των Led Zeppelin, «Stairway to Heaven», ίσως την καλύτερη σύνθεση στην ιστορία της ροκ μουσικής:

The footage is from the concert film "The Song Remains the Same". The concert took place in Madison Square Garden, New York City. © Warner Brothers

Μιχαήλ Άγγελος. Michelangelo Buonarroti

Portrait of Michelangelo by Daniele da Volterra.

Ο Μιχαήλ Άγγελος Μπουαναρότι (περισσότερο γνωστός ως Μικελάντζελο) ήταν γλύπτης, ζωγράφος, αρχιτέκτονας και ποιητής. 

Daniele Da Volterra, Michelangelo, 1560.

Πολλές φορές στην Ιστορία της Τέχνης τον αποκαλούν «ο θεϊκός», εξ 'αιτίας του προσωνυμίου που του απέδωσε ο Τζόρτζιο Βαζάρι, όταν εξέδωσε την βιογραφία του Μιχαήλ Αγγέλου. 

Statue de Michel-Ange de la galerie des Offices à Florence.

Γεννήθηκε στις 6 Μαρτίου του 1475 στο Καπρέζε της Ιταλίας, μια κωμόπλοη ​​έξω από την Φλωρεντία. Έχοντας εμφανή κλίση στη ζωγραφική, σπούδασε αρχικά υπό την καθοδήγηση του ουμανιστή Φραντσέσκο ντ 'Ουρμπίνο, αλλά το 1487 ξεκίνησε ως μαθητευόμενος στο εργαστήριο ζωγραφικής του Ντομένικο Γκιρλαντάγιο. Ωστόσο υπήρξε σε μεγάλο βαθμό αυτοδίδακτος. 

Madonna della scala, (Madonna of the Steps) (1490–92), Michelangelo's earliest known work, Florence, Casa Buonarotti.

Σημαντική στιγμή στην εξέλιξη του υπήρξε η επίσκεψη στον Κήπο των Μεδίκων, όπου διατηρείτο σημαντική συλλογή από αρχαία γλυπτά. Εκεί διδάχθηκε την τέχνη της γλυπτικής ενώ παράλληλα γνώρισε τον Λορέντσο των Μεδίκων, επιφανή άρχοντα της Φλωρεντίας, ο οποίος τον εισήγαγε στην αυλή του. Στην αυλή του Λορέτζου του Μεγαλοπρεπούς, ήρθε σε επαφή με τις ιδέες του νεοπλατωνισμού, μεταφυσική, ηθική και μυστικιστική φιλοσοφική σχολή.

Michelangelo's Pietà, St Peter's Basilica (1498–99).

Έμεινε στην αυλή και μετά τον θάνατο του Λορέτζου, το 1492, έφυγε όμως σύντομα γιατί κινδύνευε από τους υποστηρικτές του μοναχού Σαβοναρόλα ως ευνοούμενος των Μεδίκων. Πήγε στη Βενετία και την Μπολόνια για να καταλήξει στη Ρώμη. Εν τω μεταξύ είχε ήδη ολοκληρώσει κάποια έργα, όπως την Μάχη των Κενταύρων και την Παναγία της Σκάλας. Στη Ρώμη του ανέθεσαν σημαντικά έργα όπως η Αποκαθήλωση που απεικονίζει την Παναγία να κρατά στα χέρια της το σώμα του Χριστού μετά τη σταύρωση. Το έργο τοποθετήθηκε στην βασιλική του Αγίου Πέτρου και συνέβαλε σημαντικά στην καταξίωση του καλλιτέχνη. 

The Statue of David, completed by Michelangelo in 1504, is one of the most renowned works of the Renaissance. David, situé à la Galleria dell'Academia, à Florence.

Ύστερα από 5 χρόνια επέστρεψε στη Φλωρεντία όπου ανέλαβε αρκετές παραγγελίες με σημαντικότερη, την ανάθεση του Δαβίδ, ενός μαρμάρινου γλυπτού μεγάλων διαστάσεων που αποτέλεσε σύμβολο της νέας φλωρεντινής δημοκρατίας και τοποθετήθηκε στην Πιάτσα ντελα Σινιορία, μπροστά από το Παλάτσο Βέκιο.

Plafond de la Chapelle Sixtine. Vatican. Michelangelo painted the ceiling of the Sistine Chapel; the work took approximately four years to complete (1508–12).

Ένα χρόνο αργότερα επέστρεψε στη Ρώμη για να αναλάβει αυτή την φορά το έργο που θα τον καθιερώσει παγκοσμίως, την διακόσμηση της Καπέλα Σιξτίνα (παπικό παρεκκλήσιο), ύστερα από πρόσκληση του Πάπα Ιουλίου του Β’. ο οποίο στου ανέθεσε τη δημιουργία ενός επιβλητικού μαυσωλείου.

 Michelangelo Buonarroti, Last Judgment, Le Jugement Dernier, 1541.

Το επόμενο διάστημα (1508-1512) ο Μιχαήλ Άγγελος κατάφερε να δημιουργήσει περισσότερες από 300 βιβλικές φιγούρες και άλλες θρησκευτικές παραστάσεις, όπως σκηνές από την Γένεση, την ιστορία του Νώε ή τη Δευτέρα Παρουσία.

Michelangelo, Voute de la Chapelle Sixtine, La Sibylle de Delphes, 1509.

Τα τέσσερα αυτά χρόνια, λέγεται, ότι ο Μικελάντζελο δεν βγήκε από την Καπέλα Σιξτίνα παρά ελάχιστα και δεν επέτρεψε σε κανέναν να δει το έργο του, δημιουργώντας έτσι μια αναστάτωση, μια φήμη και πλήθος κόσμου σύρρεε έξω από το Παρεκκλήσι. Σημαντική καινοτομία υπήρξε επίσης η απεικόνιση θεμάτων που προέρχονταν από την αρχαία ελληνική και ρωμαϊκή παράδοση, χωρίς άμεση σχέση με την χριστιανική θρησκεία, όπως οι Σίβυλλες. Ο θόλος ήταν τόσο ψηλά που επινόησε μία τεχνοτροπία. Ζωγράφισε παραμορφωμένες τις φιγούρες, έτσι ώστε ο θεατής που βρισκόταν αρκετά μέτρα πιο κάτω να τις έβλεπε κανονικές.

Michelangelo Buonarroti, Leda and the Swan, Léda et le cygnet, 1530-1540.

Ο διάδοχος του Ιουλίου του Β’, Λέων Ι΄ του ανέθεσε την ανακατασκευή της πρόσοψης της εκκλησίας του Σαν Λορέντσο, στη Φλωρεντία. Εργάστηκε για το σκοπό αυτό για τρία χρόνια, ωστόσο ο πάπας τελικά απέρριψε το σχέδιο. Αργότερα ανέλαβε την ανέγερση ενός νέου σκευοφυλακίου για την ίδια εκκλησία, με σκοπό να περιέχει τους τάφους του Λορέντσο του Μεγαλοπρεπή, του αδελφού του Τζουλιάνο καθώς και των ομώνυμων πρόωρα χαμένων δουκών. Οι εργασίες αναστέλλονται λόγω θανάτου του Πάπα, αλλά αποτελούν σημαντικό δείγμα συνύπαρξης της αρχιτεκτονικής με την γλυπτική. 

Michelangelo Buonarroti, Detail from the Dying slave, Détail de l’Esclave mourant, 1513-1515, Musée du Louvre.

Αργότερα κατέφυγε στη Γαλλία, προσκεκλημένος του Φραγκίσκου Α΄, ενώ η η Φλωρεντία πολιορκούνταν, με αποτέλεσμα να χαρακτηριστεί λιποτάκτης. Επέστρεψε όμως σύντομα πίσω στη Φλωρεντία όπου και παρέμεινε μέχρι την επόμενη επίσκεψή του στη Ρώμη για να αναμορφώσει την πλατεία του Καπιτωλίου και το Παλάτσο Φαρνέζε.

Dessin de Michel-Ange représentant Zeus et Ganymède, couple pédérastique archétypal depuis la Grèce classique.

Επιπλέον, διορίστηκε υπεύθυνος αρχιτέκτονας για την ολοκλήρωση της κατασκευής της βασιλικής του Αγίου Πέτρου. Τα σχέδια που ακολουθήθηκαν ανήκαν στον Ντονάτο Μπραμάντε, ωστόσο ο Μιχαήλ Άγγελος σχεδίασε το θόλο της, η κατασκευή του οποίου ολοκληρώθηκε πριν το θάνατό του (18 Φεβρουαρίου του 1564).

Michelangelo's tomb in Basilica di Santa Croce di Firenze. Le Tombeau de Michel-Ange dans la basilique de Santa Croce à Florence.

Ενταφιάστηκε, σύμφωνα με την επιθυμία του στην Βασιλική του Αγίου Σταυρού (Santa Croce) της Φλωρεντίας.

Αυτή είναι η ιστορία ενός "σούπερ σταρ", ενός γλύπτη, ζωγράφου και αρχιτέκτονα που δεσπόζει στην ιστορία της τέχνης σαν ένας κολοσσός. Ήταν μια ταραγμένη ιδιοφυΐα...

Το δεύτερο και τελευταίο μέρος του δραματοποιημένου ντοκιμαντέρ του BBC (με ελληνική αφήγηση και υπότιτλους), για μία από της σημαντικότερες μορφές της Αναγέννησης, που δημιούργησε πληθώρα αριστουργημάτων...

Σκανάροντας το παρελθόν - Η αρχαία ελληνική πόλη της Πέτρας. Time Scanners: Petra

The ancient desert city of Petra, Jordan. Inhabited for thousands of years, the strikingly beautiful desert city of Petra, Jordan was once home to a civilization long since vanished. Petra's location between the Red Sea and the Dead Sea made it an important center for commerce, where Arabian incense, Chinese silks, and Indian spices were traded. The buildings reflect a welcoming of cultures, combining native Eastern traditions with Western Classical (850 BC-476 AD) architecture from Hellenistic Greece. Noted by UNESCO as "half-built, half-carved into the rock," this capital city also had a sophisticated system of dams and channels for collecting, diverting, and providing water to the arid region. Petra, Jordan was lost to the Western World from about the 14th century until the early 19th century. Today, the ancient city is one of the world's largest and most important archaeological sites. It has been an inscribed property of the UNESCO World Heritage Centre since 1985. In 2007, Petra was also named one of the New 7 Wonders of the World. Press photo © 2000-2006 NewOpenWorld Foundation

Έχοντας στα χέρια τους, μηχανήματα τελευταίας τεχνολογίας, κορυφαίοι επιστήμονες σαρώνουν με λέιζερ τα αρχαία μνημεία και μας αποκαλύπτουν πολύτιμα μυστικά και δίνουν απαντήσεις σε σημαντικά ερωτήματα.

Petra Church-Byzantine Mosaics

Σε αυτό το επεισόδιο της σειράς "Σκανάρονας το παρελθόν", αντικείμενο έρευνας η αρχαία πόλη της Πέτρας στην Ιορδανία. ελληνικής τεχνοτροπίας και αισθητικής μνημείο.

The Time Scanners use cutting-edge 3D laser-scanning technology to put history's building wonders to the test, exploring the secrets of how the world's most iconic engineering creations were constructed. Leading the quest is structural engineer Steve Burrows. He is joined by laser-scanning experts from the Center for Advanced Spatial Technologies at the University of Arkansas. With unprecedented access, they explore, scan and digitally analyse some of mankind's most awe-inspiring architectural achievements, uncovering just how good the engineers of the ancient world really are. 

The ancient city of Petra Great Temple

Structural engineer Steve Burrows leads his team of laser-scanning experts to Jordan in the Middle East, to scan the ancient desert city of Petra.

Τερατώδης ηφαιστειακή έκρηξη καταγράφηκε σε φεγγάρι του Δία. Jupiter's Moon Io Erupts

The LORRI camera aboard NASA’s New Horizons spacecraft captured these images of Io’s Tvashtar volcano erupting. Credit: NASA, JPL/Caltech Univ. of Arizona.

Ηφαιστειακά υλικά εκτινάσσονται σε ύψος 321 χιλιομέτρων πάνω από την επιφάνεια της οργισμένης Ιούς, του πλέον ενεργού σώματος του Ηλιακού Συστήματος από γεωλογική άποψη. Το δραματικό φαινόμενο καταγράφηκε από τη αποστολή New Horizons της NASA καθώς περνούσε για λίγο από το σύστημα του Δία.

Δορυφόρος-ηφαίστειο

Io is the most volcanically active body in the solar system. At 2,263 miles in diameter, it is slightly larger than Earth’s moon. Credit: NASA, JPL/Caltech Univ. of Arizona.

Τουλάχιστον 400 ενεργά ηφαίστεια και 100 βουνά, ορισμένα ψηλότερα από το Έβερεστ, έχουν ανακαλυφθεί ως σήμερα στην Ιώ, ένας από τους τέσσερις δορυφόρους του Δία που ανακάλυψε το 1610 ο Γαλιλαίος Γαλιλέι.

Λάβα ξεχύνεται στην επιφάνεια της Ιούς στη διάρκεια ηφαιστειακής έκρηξης. Lava spills onto the surface of Io during a volcanic eruption. Πηγή: NASA/JPL/University of Arizona

Λάβα, θειάφι και διοξείδιο του θείου εκτοξεύονται συχνά στον ουρανό του δορυφόρου, ο οποίος είναι λίγο μεγαλύτερος από τη Σελήνη με διάμετρο 3.640 χιλιομέτρων.

This five-frame sequence (Repeating Sequence on this video) of New Horizons images captures the giant plume from Io's Tvashtar volcano. Snapped by the probe's Long Range Reconnaissance Imager (LORRI) as the spacecraft flew past Jupiter earlier this year, this first-ever "movie" of an Io plume clearly shows motion in the cloud of volcanic debris, which extends 330 kilometers (200 miles) above the moon's surface. Only the upper part of the plume is visible from this vantage point -- the plume's source is 130 kilometers (80 miles) below the edge of Io's disk, on the far side of the moon. Credit: NASA/Johns Hopkins University Applied Physics Laboratory/Southwest Research Institute

Η θεαματική έκρηξη που δείχνει το βίντεο της NASA συνέβη το 2007, όταν το New Horizons πέρασε από το σύστημα του Δία για να αυξήσει ταχύτητα αλλά και να παρατηρήσει τον μεγαλύτερο πλανήτη του Ηλιακού Συστήματος.

Ο... ένοχος

Ο Δίας, εξάλλου, είναι η δύναμη στην οποία οφείλεται η ακραία ηφαιστειακή δραστηριότητα της Ιούς: ολόκληρο το φεγγάρι παραμορφώνεται λόγω της βαρυτικής έλξης του Δία και των άλλων μεγάλων δορυφόρων του. Η παλιρροϊκή αυτή παραμόρφωση προκαλεί ισχυρή τριβή που θερμαίνει και τελικά λιώνει τα πετρώματα του φεγγαριού.

Και, λόγω της σχετικά αδύναμης βαρύτητας της ίδιας της Ιούς, τα ηφαιστειακά υλικά εκτινάσσονται σε πολύ μεγαλύτερο ύψος από ό,τι αν τα ηφαίστεια βρίσκονταν στη Γη.

Collapsed volcanoes form large, dark spots on Io’s surface. Credit: NASA, JPL/Caltech Univ. of Arizona.

Θα περάσουν πάντως αρκετά χρόνια μέχρι να βρουν οι επιστήμονες την ευκαιρία να καταγράψουν άλλες τέτοιες εκρήξεις στην Ιώ -το Νew Horizons έχει πλέον απομακρυνθεί και κινείται προς τον κύριο στόχο του, τον πλανήτη-νάνο Πλούτωνα και άλλα παγωμένα σώματα της γειτονιάς του, της λεγόμενης Ζώνης του Κάιπερ. Η επόμενη ευκαιρία ίσως έρθει με την εκτόξευση της ευρωπαϊκής αποστολής Juice προς τον Δία το 2022.