Δοκιμάστε τη λογική σας! Test your logic!

Μπορείτε απλώς να χαζέψετε την ευφυή τους σύλληψη ή να στύψετε το μυαλό σας αναζητώντας την καλύτερη λύση. Σε κάθε περίπτωση, τα διάσημα παράδοξα προσφέρουν υλικό για τέρψη και για σκέψη.

Αν σε ένα χωριό ο κουρέας ξυρίζει όσους δεν ξυρίζονται μόνοι τους, τότε ποιος ξυρίζει τον κουρέα; Πώς η γάτα του Σρέντινγκερ μπορεί να είναι νεκρή και ζωντανή, χωρίς να είναι ζόμπι; Γιατί ένας δίδυμος που ταξιδεύει στο Διάστημα είναι νεότερος από τον αδελφό του, που μένει στη Γη, και όχι το αντίστροφο; Πότε ένας σωρός άμμου παύει να είναι σωρός; Πώς, ενάντια σε αυτό που σας λέει το ένστικτό σας, έχετε περισσότερες πιθανότητες να διαλέξετε τη σωστή κουρτίνα στο τηλεπαιχνίδι του Μόντι Χολ; Γιατί ο ουρανός τη νύχτα είναι σκοτεινός; Και γιατί δεν βλέπουμε γύρω μας εξωγήινους; Από την αρχαιότητα ως σήμερα πολλά παράδοξα έχουν τριβελίσει κατά καιρούς το μυαλό φιλοσόφων και επιστημόνων. Παρακάτω σας παρουσιάζουμε ορισμένα από τα διασημότερα.

Ο Μπέρτραντ Ράσελ γνωστός μαθηματικός και φιλόσοφος, ήταν από τους πρωτεργάτες, της θεμελίωσης της Λογικής ως ξεχωριστής επιστήμης. Δημοσίευσε το εν λόγω παράδοξο στη μαθηματική του μορφή το 1901, και έβαλε βόμβα στη θεωρία των συνόλων του Καντόρ. Αναφέρεται ότι είχε ανακαλυφθεί ένα χρόνο νωρίτερα από τον Έρνστ Ζερμέλο, ο οποίος όμως δεν το δημοσίευσε και έχασε και τη δόξα.

Σε ένα χωριό ο κουρέας ξυρίζει αυτούς και μόνο αυτούς που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Αλλά τότε ποιος ξυρίζει τον κουρέα; Θα έλεγε κανείς ότι ο συλλογισμός αυτός, ο οποίος είναι γνωστός ως το παράδοξο του Ράσελ (Russell), θα μπορούσε να «λυθεί» αν υποθέσει κανείς πως ο κουρέας έχει γένια ή πως είναι σπανός. Αυτό όμως δεν αποτελεί λύση, αφού είτε με τη μία είτε με την άλλη υπόθεση ο κουρέας δεν ξυρίζεται μόνος του, και άρα θα πρέπει, σύμφωνα με την υπόθεση, να τον ξυρίζει ο κουρέας! Το παράδοξο του Ράσελ αποτελεί μια «εκλαϊκευμένη» μορφή ενός θεμελιωδέστερου μαθηματικού παραδόξου που ο άγγλος μαθηματικός και ειρηνιστής Μπέρτραντ Ράσελ είχε ανακαλύψει στις αρχές του προηγούμενου αιώνα. Η «ρίζα» αυτού του παραδόξου είναι η αυτοαναφορά (ο κουρέας ξυρίζει τον κουρέα) και ο καθορισμός μιας ιδιότητας με την άρνηση κάποιας άλλης (ξυρίζει αυτούς που δεν ξυρίζονται μόνοι τους). Το παράδοξο αυτό απειλούσε να τινάξει στον αέρα τη θεωρία των συνόλων, η οποία αποτελεί τη βάση των σύγχρονων μαθηματικών, αλλά η μαθηματικοί εκείνης της εποχής κατάφεραν να το «εξουδετερώσουν» τροποποιώντας κατάλληλα τις αρχές της θεωρίας.

Γνήσια και χιουμοριστικά

Στη βιβλιογραφία μπορεί να βρει κανείς εκατοντάδες «παράδοξα», δεν ανήκουν όμως όλα στην ίδια κατηγορία. Μερικά από αυτά είναι «γνήσια», όπως συμβαίνει με το παράδοξο του Ράσελ, και επομένως η παραδοξότητά τους είναι εγγενές πρόβλημα που δεν μπορεί να διορθωθεί με απλό τρόπο. Στα γνήσια παράδοξα εντάσσονται όλα τα ανάλογα με το παράδοξο του Ράσελ, που οφείλονται στην παρουσία των «ελαττωμάτων» της αυτοαναφοράς και της αντίφασης. Ένα απλούστερο παράδειγμα είναι η φράση «αυτή η πρόταση είναι ψευδής», η οποία είναι ψευδής αν λέει την αλήθεια! Παρόμοια είναι και η περίπτωση όπου ο Πινόκιο, γνωστός ψεύτης του οποίου η μύτη μεγάλωνε κάθε φορά που έλεγε ψέματα, λέει στον πατέρα του «η μύτη μου μεγαλώνει τώρα». Αν λέει την αλήθεια, η μύτη του δεν πρέπει να μεγαλώνει (επειδή δεν λέει ψέματα) και αν λέει ψέματα και πάλι η μύτη του δεν μεγαλώνει (αφού αν το «μεγαλώνει» είναι ψέματα, δεν μεγαλώνει)! Στο ίδιο μήκος κύματος βρίσκεται και η γνωστή ρήση του Σωκράτη «έν οίδα ότι ουδέν οίδα» (ένα ξέρω, ότι δεν ξέρω τίποτα). «Μη γνήσια» παράδοξα είναι εκείνα που προκύπτουν από την, ηθελημένη ή μη, εφαρμογή λανθασμένων συλλογισμών, το λάθος των οποίων δεν γίνεται εύκολα αντιληπτό από τον μέσο αναγνώστη ή ακροατή. Μια τρίτη κατηγορία είναι τα παράδοξα που προκύπτουν από το γεγονός ότι οι αρχικές υποθέσεις, από τις οποίες ξεκινάμε, απλώς δεν αληθεύουν. Και τέλος υπάρχουν και τα χιουμοριστικά παράδοξα.

Είναι ίδιο το ποτάμι;

Μια σειρά λογικών παραδόξων οφείλεται στο ότι, χωρίς να γίνεται αντιληπτό, υπάρχει ασάφεια ή αοριστία στον ορισμό του προβλήματος. Κλασικό παράδειγμα αυτής της κατηγορίας είναι το παράδοξο με την ταυτότητα ενός αντικειμένου στο οποίο αλλάζουμε εξαρτήματα. Κάποιος μας διηγείται ότι από παλιά είχε ένα μαχαίρι που το αγαπούσε πολύ, έτσι ώστε όταν χάλασε η λάμα του προτίμησε να την αλλάξει παρά να αγοράσει καινούργιο. Λίγο καιρό αργότερα χάλασε και η λαβή του, αλλά και πάλι προτίμησε να αλλάξει λαβή παρά να αγοράσει καινούργιο μαχαίρι. Έτσι συνεχίζει να έχει το ίδιο αγαπημένο μαχαίρι του, παρά το γεγονός ότι αυτό δεν έχει πια τίποτα το κοινό με το αρχικό! Παρόμοια είναι και η ρήση του μεγάλου αρχαίου έλληνα φιλοσόφου Ηράκλειτου, ο οποίος είχε πει ότι κανένας δεν μπορεί να πει πως πέρασε από το ίδιο ποτάμι, αφού κάθε στιγμή από αυτό δεν κυλάει το ίδιο νερό. Το πρόβλημα σε αυτά τα παράδοξα εντοπίζεται στην έννοια της λέξης «ίδιο». Γιατί άλλο εννοούμε όταν λέμε ότι «όλα τα πιάτα ενός σερβίτσιου είναι τα ίδια» και άλλο όταν λέμε ότι δύο αδέλφια «τρώνε από το ίδιο πιάτο». Ένα άλλο παράδειγμα παραδόξου αυτής της κατηγορίας είναι το πότε ένας σωρός άμμου παύει να είναι σωρός. Ξεκινάμε από έναν μεγάλο σωρό άμμου και αφαιρούμε έναν κόκκο. Οι υπόλοιποι κόκκοι εξακολουθούν να αποτελούν έναν σωρό. Μετά αφαιρούμε και δεύτερο, και τρίτο, κ.ο.κ. Κάποια στιγμή έχουν μείνει μόνο δύο κόκκοι και αφαιρούμε τον έναν. Αυτό που απομένει είναι ακόμη σωρός; Εδώ το πρόβλημα βρίσκεται στο ότι δεν έχουμε ορίσει ακριβώς το τι είναι ένας σωρός άμμου.

Ποια κουρτίνα να διαλέξω;

Αντίθετα με την περίπτωση του παράδοξου του Ζήνωνα, όπου σωστή είναι η αντίληψη της καθημερινής ζωής και όχι των μαθηματικών επιχειρημάτων, στη θεωρία των πιθανοτήτων υπάρχουν σωστά συμπεράσματα που όμως φαίνονται παράδοξα στον μέσο πολίτη. Ίσως το πιο γνωστό από αυτά είναι το παράδοξο του Μόντι Χολ (Monty Hall), που πήρε το όνομά του από τον παρουσιαστή του τηλεπαιχνιδιού «Ας κάνουμε μια συμφωνία» (Let’s make a deal). Ας υποθέσουμε ότι αφού κερδίσατε στο παιχνίδι, έχετε το δικαίωμα να επιλέξετε ένα από τα δώρα που βρίσκονται πίσω από τρεις κουρτίνες. Έστω ότι πίσω από τη μία κουρτίνα βρίσκεται ένα αυτοκίνητο ενώ πίσω από τις άλλες δύο από μία κατσίκα. Διαλέγετε στην τύχη την κουρτίνα 1 και ο τηλεπαρουσιαστής, που γνωρίζει πού είναι το αυτοκίνητο, ανοίγει μια άλλη κουρτίνα, π.χ. την 3. Έπειτα σας ρωτά αν θέλετε να αλλάξετε επιλογή και να διαλέξετε την κουρτίνα 2 αντί για την 1. Θα πρέπει να αδράξετε την ευκαιρία ή να επιμείνετε στην αρχική επιλογή σας; Η σωστή απάντηση είναι ότι θα πρέπει να αλλάξετε επιλογή, επειδή έτσι η πιθανότητα να κερδίσετε το αυτοκίνητο είναι 2/3, ενώ αν επιμείνετε στην αρχική επιλογή σας η πιθανότητα να πάρετε το αυτοκίνητο είναι μόνο 1/3. Οι περισσότεροι όμως θεωρούν ότι η επιλογή της άλλης κουρτίνας δεν επηρεάζει την πιθανότητα κέρδους, και μεταξύ αυτών πολλοί μαθηματικοί. Πολλοί από τους «άπιστους», μάλιστα, συνεχίζουν να μην πιστεύουν τη θεωρητική λύση, ακόμη και αν δουν τα αποτελέσματα προσομοιώσεων σε ηλεκτρονικό υπολογιστή, τα οποία, φυσικά, συμφωνούν με τη θεωρία.

Ο Αχιλλέας και η χελώνα

Μια κατηγορία παραδόξων στα Μαθηματικά είναι εκείνα που συνδέονται με τις έννοιες του απείρου και του απειροστά μικρού. Είναι γνωστό, για παράδειγμα, το παράδοξο του σοφιστή Ζήνωνος του Ελεάτη «ο γοργοπόδαρος Αχιλλέας και η χελώνα», σύμφωνα με το οποίο ο Αχιλλέας που κυνηγάει τη χελώνα δεν θα τη φτάσει ποτέ. Σύμφωνα με τον Ζήνωνα, ο Αχιλλέας αρχίζει να τρέχει κυνηγώντας τη χελώνα, η οποία προχωράει αργά αλλά σταθερά. Όταν ο Αχιλλέας φτάσει στο σημείο που ήταν η χελώνα όταν ξεκίνησε το κυνηγητό, η χελώνα θα έχει προχωρήσει κατά ένα διάστημα προς το τέλος της διαδρομής. Όταν στη συνέχεια ο Αχιλλέας φτάσει στο σημείο που ήταν η χελώνα όταν αυτός είχε φτάσει στην αρχική θέση της, η χελώνα θα έχει και πάλι προχωρήσει κ.ο.κ. Άρα δεν θα τη φτάσει ποτέ, ένα «λογικό» συμπέρασμα που όμως δεν συμφωνεί με την καθημερινή εμπειρία. Η εξήγηση εδώ είναι ότι ο Ζήνων δεν ήξερε να χειρίζεται το άπειρο άθροισμα όρων που είναι όλο και μικρότεροι. Σήμερα γνωρίζουμε ότι ένα άθροισμα άπειρων όρων μπορεί να έχει συγκεκριμένη – και όχι άπειρη – τιμή, όπως για παράδειγμα το 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … που ισούται με 2. Αν χρησιμοποιήσουμε σωστά τα μαθηματικά, βρίσκουμε ότι το άθροισμα των χρονικών διαστημάτων που χρειάζεται ο Αχιλλέας για να φτάσει τη χελώνα δεν είναι άπειρο, όπως νόμιζε ο Ζήνων.

Πώς έχουμε νύχτα;

Olbers' paradox in action

Γιατί ο ουρανός τη νύχτα είναι σκοτεινός; Μα επειδή, θα έλεγε κανείς, έχει δύσει ο Ήλιος! Αν προσπαθήσουμε όμως να προσεγγίσουμε θεωρητικά αυτό το πρόβλημα, θα διαπιστώσουμε πως η προφανής αυτή απάντηση μοιάζει να μην είναι σωστή! Συγκεκριμένα, αν υποθέσουμε ότι το Σύμπαν είναι άπειρο και ότι τα αστέρια είναι τυχαία διασκορπισμένα σε αυτό, κάτι που φαίνεται λογικό, τότε απλοί θεωρητικοί υπολογισμοί δείχνουν πως ο ουρανός θα έπρεπε, νύχτα-μέρα, να είναι τόσο φωτεινός όσο η επιφάνεια του Ηλίου. Αυτή η ασυμφωνία μεταξύ παρατήρησης, που δείχνει σκοτεινό ουρανό, και θεωρίας, που δείχνει φωτεινό ουρανό, ονομάζεται παράδοξο του Olbers, από το όνομα του γερμανού αστρονόμου που το παρατήρησε πρώτος. Το θεωρητικό αποτέλεσμα μπορεί να γίνει κατανοητό από τον μέσο αναγνώστη χωρίς καθόλου μαθηματικά. Όλοι γνωρίζουμε πώς παριστάνουμε ένα σώμα που ακτινοβολεί: ζωγραφίζουμε ακτίνες που ξεκινούν από την επιφάνειά του και κατευθύνονται προς το άπειρο. Επειδή τα αστέρια είναι πολύ μακριά, υποθέτουμε ότι από όλα τους φτάνει στη Γη μόνο μία ακτίνα και, επειδή άπειρα από αυτά είναι διασκορπισμένα στον ουρανό, φτάνει στο μάτι μας μία ακτίνα από κάθε σημείο του. Αν υποθέσουμε ότι όλα τα αστέρια έχουν χρώμα κίτρινο όπως ο Ήλιος, κάτι που δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα, τότε το μάτι μας θα βλέπει κάθε σημείο του ουρανού κίτρινο και τόσο λαμπρό όσο η επιφάνεια του Ηλίου. Εμείς όμως βλέπουμε τον ουρανό την ημέρα γαλάζιο και τη νύχτα σκοτεινό! Άρα η αρχική υπόθεσή μας δεν είναι σωστή, πράγμα που σημαίνει ότι το Σύμπαν δεν είναι άπειρο. Άρα δημιουργήθηκε κάποια στιγμή στο παρελθόν, με τη διαδικασία που σήμερα ονομάζουμε Μεγάλη Έκρηξη, πριν από περίπου 14 δισεκατομμύρια χρόνια.

Σε έναν Κόσμο τριών διαστάσεων με τα άστρα κατανεμημένα ομοιόμορφα παντού, ο αριθμός των άστρων θα ήταν ανάλογος προς τον όγκο. Αν μελετηθεί η επιφάνεια των ομόκεντρων σφαιρικών φλοιών, τότε ο αριθμός των άστρων σε κάθε φλοιό θα ήταν ανάλογος προς το τετράγωνο της ακτίνας του φλοιού.

Γι’ αυτόν τον λόγο δεν μπορούμε να δούμε σε άπειρη απόσταση αλλά μόνο σε απόσταση ως 14 δισεκατομμύρια έτη φωτός, όση απόσταση είχε τον χρόνο να διασχίσει το φως από τη δημιουργία του Σύμπαντος ως σήμερα, τρέχοντας με την ταχύτητα του φωτός. Γι’ αυτόν τον λόγο δεν βλέπουμε από κάθε σημείο του ουρανού να προέρχεται μια φωτεινή ακτίνα, αλλά μόνο από ορισμένα. Άρα το παράδοξο του Olbers ανήκει στην κατηγορία των παραδόξων που οφείλονται σε λανθασμένες υποθέσεις.

Το δίδυμο του αστροναύτη

Ο Σκοτ Κέλι (δεξιά) επέστρεψε πρόσφατα από τον Διεθνή Διαστημικό Σταθμό και θα συγκριθεί με τον δίδυμο αδελφό του Μαρκ που έμεινε στη Γη. NASA Expedition 45/46 Commander, Astronaut Scott Kelly along with his brother, former Astronaut Mark Kelly at the Johnson Space Center, Houston Texas speak to news media outlets on Jan.19, 2015. The subject is Scott Kelly's upcoming 1-year mission aboard the International Space Station. Credit: NASA/Robert Markowitz

Το πιο διάσημο ίσως επιστημονικό παράδοξο είναι το παράδοξο των διδύμων. Η Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας (ΕΘΣ) του Αϊνστάιν, η οποία ισχύει για κινήσεις με σταθερή ταχύτητα, προβλέπει ότι ο χρόνος ρέει πιο αργά για έναν παρατηρητή που κινείται με μεγάλη ταχύτητα σε σχέση με κάποιον που μένει ακίνητος. Ας θεωρήσουμε λοιπόν δύο διδύμους, εκ των οποίων ο ένας παραμένει στη Γη και ο άλλος επιβιβάζεται σε ένα διαστημόπλοιο, το οποίο ταξιδεύει με μεγάλη ταχύτητα. Για τον ταξιδιώτη ο χρόνος ρέει πιο αργά, οπότε όταν επιστρέψει το ρολόι του θα έχει «χτυπήσει» λιγότερες ώρες και θα είναι επομένως νεότερος από τον αδελφό του. Ως εδώ δεν υπάρχει κάτι παράδοξο, εκτός βέβαια από την παραδοξότητα της σχετικότητας του χρόνου, που είναι ένα από τα δυσνόητα χαρακτηριστικά της ΕΘΣ. Το παράδοξο εμφανίζεται όταν σκεφθεί κανείς ότι η κατάσταση είναι συμμετρική, επειδή η κίνηση είναι σχετική. Ο ταξιδιώτης θα μπορούσε να θεωρήσει τον εαυτό του ακίνητο και τον αδελφό του, που έμεινε στη Γη, να κινείται με μεγάλη ταχύτητα, οπότε εκείνος που θα γερνούσε πιο αργά θα ήταν αυτός που παρέμεινε στη Γη. Ποιο από τα δύο συμπεράσματα είναι σωστό; Το παράδοξο αυτό οφείλεται, όπως και το παράδοξο του Όλμπερς, στο ότι καταλήγουμε σε αυτό κάνοντας μια υπόθεση που δεν είναι σωστή. Συγκεκριμένα η κατάσταση δεν είναι συμμετρική, και στο συμπέρασμα αυτό μπορούμε να φτάσουμε με παραπάνω από έναν συλλογισμούς. Ο εντελώς σωστός είναι να λάβουμε υπόψη μας ότι για να επιστρέψει ο ταξιδιώτης θα πρέπει να αλλάξει κατεύθυνση κίνησης, οπότε συμπεραίνουμε ότι έχει δεχθεί κάποια δύναμη και άρα έχει υποστεί επιτάχυνση. Επομένως θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας (ΓΘΣ), η οποία ισχύει για παρατηρητές που επιταχύνονται. Με τη βοήθεια της ΓΘΣ μπορούμε να υπολογίσουμε την ώρα που δείχνουν τα ρολόγια το καθενός από τους διδύμους και να διαπιστώσουμε ότι, πράγματι, αυτός που είναι γηραιότερος όταν ξανασυναντηθούν είναι αυτός που παρέμεινε στη Γη. Αυτή τη λύση του «παραδόξου» είχε προτείνει άλλωστε και ο ίδιος ο Αϊνστάιν. Αλλά το γεγονός ότι η κατάσταση δεν είναι συμμετρική μπορεί να προκύψει και από μόνη την ΕΘΣ, αν κατανοήσει κανείς ότι στο πρόβλημα δεν υπάρχουν δύο αλλά τρία συστήματα που κινούνται με σταθερή ταχύτητα: ένα είναι η Γη (που μένει ακίνητη), ένα είναι αυτό που απομακρύνεται από τη Γη με σταθερή ταχύτητα και ένα αυτό που πλησιάζει τη Γη με σταθερή ταχύτητα. Επομένως ο ταξιδιώτης αλλάζει σύστημα κίνησης, ενώ αυτός που παραμένει στη Γη όχι. Ο αριθμητικός υπολογισμός της ηλικίας του κάθε διδύμου χρειάζεται βέβαια γνώσεις της Ειδικής και της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας. Το γεγονός όμως ότι η κατάσταση των δύο δεν είναι συμμετρική – και άρα δεν υπάρχει παράδοξο – προκύπτει, όπως είδαμε, πολύ απλούστερα.

Γιατί δεν βλέπουμε εξωγήινους;

Στις αρχές της δεκαετίας του 1950 ο μεγάλος ιταλοαμερικανός φυσικός Ενρίκο Φέρμι (Fermi) είχε θέσει έμμεσα το ακόλουθο παράδοξο. Είναι γνωστό ότι ένα από τα πιο βασικά χαρακτηριστικά της ζωής είναι η τάση για εξάπλωση στον μέγιστο δυνατό χώρο. Αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος για τη δημιουργία αποικιών, με πιο χαρακτηριστικό τον αποικισμό των ακτών της Μεσογείου από τους αρχαίους Έλληνες και τον αποικισμό της Αμερικής από τους Ευρωπαίους. Με αυτό ως δεδομένο είναι εύκολο να υπολογίσει κανείς ότι ένας εξελιγμένος τεχνολογικός πολιτισμός σε κάποιον από τους εκατοντάδες δισεκατομμύρια πλανήτες του γαλαξία μας θα είχε εξαπλωθεί σε ολόκληρο τον γαλαξία σε λιγότερο από 100 εκατομμύρια χρόνια. Το χρονικό αυτό διάστημα είναι ασήμαντο μπροστά στην ηλικία του γαλαξία μας, που είναι πάνω από 10 δισεκατομμύρια χρόνια. Άρα θα έπρεπε να βλέπουμε στη γειτονιά μας εξωγήινους, πράγμα όμως που δεν συμβαίνει. Πού οφείλεται αυτό το παράδοξο, που έχει γίνει γνωστό ως παράδοξο του Φέρμι; Κανένας δεν γνωρίζει σήμερα με βεβαιότητα, αλλά θα μπορούσε να οφείλεται στο ότι ένας τεχνολογικός πολιτισμός σαν τον δικό μας έχει «ημερομηνία λήξης», επειδή αυτοκαταστρέφεται είτε εξαιτίας πολέμων είτε εξαιτίας της καταστροφής του περιβάλλοντος. Η κατάσταση στη Γη μας δείχνει ότι αυτή η εξήγηση του παραδόξου δεν είναι εντελώς παράδοξη!

Η βουτυρωμένη γάτα

Θα ήθελα να αναφέρω επίσης ένα χιουμοριστικό παράδοξο. Είναι γνωστό σε όλους μας ότι αν αφήσουμε μια γάτα να πέσει τότε αυτή θα περιστραφεί στον αέρα όσο χρειάζεται για να φτάσει τελικά στο έδαφος στα τέσσερα πόδια της. Από την άλλη μεριά είναι επίσης παρατηρημένο ότι αν αφήσουμε μια βουτυρωμένη φέτα ψωμιού να πέσει τότε η μεγαλύτερη πιθανότητα είναι να πέσει με τη βουτυρωμένη πλευρά προς τα κάτω. Φανταστείτε τώρα το εξής πείραμα: Δένουμε στην πλάτη μιας γάτας μια βουτυρωμένη φέτα ψωμιού, με τη βουτυρωμένη επιφάνεια προς τα πάνω. Στη συνέχεια αφήνουμε τη γάτα να πέσει. Πώς θα φτάσει τότε στο έδαφος, με τα πόδια της ή με τη βουτυρωμένη πλευρά της φέτας;

Η γάτα του Σρέντινγκερ

Ένα άλλο πολύ γνωστό επιστημονικό παράδοξο, που συνδέεται με την Κβαντομηχανική, είναι η περίφημη γάτα του Σρέντινγκερ (Schrödinger). Σε αυτό το παράδειγμα έχουμε κλείσει μια γάτα σε ένα κουτί, στο οποίο έχουμε βάλει ένα φιαλίδιο με δηλητήριο και ένα ραδιενεργό παρασκεύασμα. Το παρασκεύασμα εκπέμπει ραδιενεργές ακτίνες-α σε τυχαίες χρονικές στιγμές, τις οποίες δεν μπορούμε να γνωρίζουμε εκ των προτέρων. Όταν μια ακτίνα-α προσκρούσει στο φιαλίδιο αυτό, σπάει, το δηλητήριο σκορπίζεται στο κουτί και σκοτώνει τη γάτα. Η Κβαντομηχανική προβλέπει ότι μπορούμε να γνωρίζουμε αν η γάτα είναι ζωντανή ή πεθαμένη μόνο αν ανοίξουμε το κουτί. Αλλά ώσπου να το κάνουμε αυτό, τότε για εμάς η γάτα είναι ταυτόχρονα μισοζωντανή και μισοπεθαμένη! Για την αριστοτελική λογική, που διέπει την καθημερινή ζωή μας, αυτή είναι μια απαράδεκτη κατάσταση. Τι ακριβώς συμβαίνει; Η απάντηση βρίσκεται στο ότι με το νοητικό αυτό πείραμα προσπαθούμε να εφαρμόσουμε ιδέες της Κβαντομηχανικής, η οποία εξ ορισμού υπολογίζει πιθανότητες συμβάντων και εφαρμόζεται στον μικρόκοσμο, σε αντικείμενα και έννοιες του μακρόκοσμου, όπου υπάρχει βεβαιότητα και όχι πιθανότητες. Η λογική αντίφαση δεν θα εμφανιζόταν αν είχαμε θέσει μια ξεκάθαρη μέγιστη απόσταση ή έναν ξεκάθαρο μέγιστο αριθμό σωματιδίων, στα οποία μπορεί να εφαρμόσει κανείς κβαντομηχανικές έννοιες. Από πειράματα που έγιναν πρόσφατα φαίνεται ότι ο μέγιστος αριθμός των σωματιδίων ενός συστήματος που υπακούει στην Κβαντομηχανική είναι πολύ μικρότερος από τα κύτταρα μιας γάτας.

Χάρης Βάρβογλης, καθηγητής του Τμήματος Φυσικής του ΑΠΘ.

Πηγή: http://www.tovima.gr/science/article/?aid=790789

Εξοντώσαμε τους Νεάντερταλ όπως οι κονκισταδόρες τους ιθαγενείς. Neanderthals killed off by diseases carried by humans coming out of Africa

Ίσως οι Νεάντερταλ έπεσαν θύματα βιολογικού και όχι συμβατικού πολέμου από τον σύγχρονο άνθρωπο. Neanderthals, like the reconstruction above on display at the Natural History Museum in London, may have succumbed to infectious diseases carried to Europe by modern humans as they migrated out of Africa.

Μια νέα θεωρία για την μυστηριώδη εξαφάνιση των Νεάντερταλ ρίχνουν στο τραπέζι επιστήμονες του Πανεπιστήμιου Κέμπριτζ. Σύμφωνα με αυτή ο σύγχρονος άνθρωπος εξόντωσε τους Νεάντερταλ με τον ίδιο τρόπο που εξόντωσαν οι κονκισταδόρες μαζικά τους ιθαγενείς στην αμερικανική ήπειρο. Μεταδώσαμε στους Νεάντερταλ ασθένειες που το δικό τους ανοσοποιητικό σύστημα αδυνατούσε να καταπολεμήσει.

Η γενετική συγγένεια ήταν αχίλλειος πτέρνα

Dr Charlotte Houldcroft (pictured left) and Dr Simon Underdown (right) analysed recent genetic studies on Neanderthals and other early humans. They also examined recent genetic research on common human pathogens that have aimed to trace their origins and combined it with fossil and archaeological evidence.

Οι Νεάντερταλ που ζούσαν στην Ευρώπη πριν από περίπου 50.000 χρόνια, μπορεί να μολύνθηκαν από ασθένειες, τις οποίες έφεραν οι πρόγονοι του ανθρώπου (Homo sapiens), όταν μετανάστευσαν μαζικά από την Αφρική. Οι αρρώστιες αυτές μπορεί να έπαιξαν σημαντικό ρόλο στο να εξαφανισθούν οι Νεάντερταλ, σύμφωνα μια νέα βρετανική επιστημονική έρευνα.

Οι ερευνητές, με επικεφαλής τη δρ. Σαρλότ Χούλντκροφτ του Τμήματος Βιολογικής Ανθρωπολογίας του Πανεπιστημίου του Κέμπριτζ, εκτιμούν ότι λόγω της γενετικής συγγένειας θα ήταν ευκολότερο για τους παθογόνους μικροοργανισμούς να «πηδήσουν» από τους ανθρώπους στους Νεάντερταλ.

Οι επιστήμονες, που μελέτησαν τα τελευταία στοιχεία από δείγματα DNA αρχαίων οστών, συμπέραναν ότι ορισμένα λοιμώδη νοσήματα είναι πιθανώς πολλές χιλιάδες χρόνια παλαιότερα από ό,τι είχε εκτιμηθεί έως τώρα. Τέτοιες ασθένειες μπορεί να είναι η φυματίωση, το στομαχικό έλκος, ο έρπης κ.α., οι οποίες εξασθένησαν σταδιακά τον οργανισμό των Νεάντερταλ και συνέβαλαν στην οριστική εξαφάνισή τους.

Θεωρείται δεδομένο ότι υπήρξαν αρκετές επιμειξίες μεταξύ ανθρώπων και Νεάντερταλ, πράγμα που επέτρεψε όχι μόνο στα μικρόβια να μεταδοθούν από τους μεν στους δε, αλλά και σε γονίδια που προδιέθεταν για διάφορες παθήσεις. Υπάρχουν ήδη ενδείξεις ότι ιοί και άλλοι μικροοργανισμοί μεταδόθηκαν στους προγόνους μας από άλλα ανθρωποειδή, όσο ακόμη ζούσαν στην Αφρική. Οι άνθρωποι, με τη σειρά τους, πέρασαν τα μικρόβια στους Νεάντερταλ, όταν ήλθαν σε επαφή μαζί τους στην Ευρώπη. 

Όπως είπε η Χούλντκροφτ, το πιθανότερο πάντως είναι ότι δεν συνέβη κάτι ανάλογο με την μαζική και γρήγορη εξαφάνιση των πληθυσμών της Αμερικής μετά την άφιξη του Κολόμβου και των ασθενειών που έφερε μαζί του. Μάλλον μικρές ομάδες Νεάντερταλ έπεφταν θύματα διαφόρων ασθενειών, ώσπου συνολικά, σε μεγαλύτερο βάθος χρόνου, οι συνέπειες υπήρξαν καταστροφικές για το είδος τους. Η μελέτη δημοσιεύεται στην επιθεώρηση «American Journal of Physical Anthropology».

Οι ασθένειες

Some infectious bacteria, like those that cause tuberculosis (pictured) are thought to have exploded when humans began living closely with livestock after the advent of farming, but recent research suggests they may have been causing problems for humans for far longer.

Η κυρίαρχη αντίληψη μέχρι σήμερα είναι ότι οι λοιμώδεις νόσοι γνώρισαν εκρηκτική αύξηση με την εμφάνιση της γεωργίας πριν από περίπου 8.000 χρόνια, καθώς δημιουργήθηκαν πλέον πυκνοκατοικημένοι οικισμοί, όπου άνθρωποι και ζώα συνυπήρχαν, συνθήκες ιδανικές για την εξάπλωση των ασθενειών. Όμως, σύμφωνα με νεότερες εκτιμήσεις, κάποιες ασθένειες που παραδοσιακά θεωρούνταν ζωονόσοι, όπως η φυματίωση, δεν μεταδόθηκαν αρχικά από τα ζώα στους ανθρώπους, αλλά το αντίστροφο.  Πρόκειται για παθογόνους μικροοργανισμούς που οι πρόγονοί μας έφεραν από την Αφρική.

The bacteria Helicobacter pylori (pictured), which causes stomach ulcers, is a prime candidate for a disease that humans may have passed to Neanderthals. It is estimated to have first infected humans in Africa 88,000 to 116,000 years ago, and arrived in Europe after 52,000 years ago.

Για παράδειγμα, το ελικοβακτήριο του πυλωρού, που προκαλεί έλκος στομάχου, πιστεύεται ότι αρχικά μόλυνε τους ανθρώπους (Homo sapiens) στην Αφρική πριν από 88.000 έως 116.000 χρόνια. Αργότερα, πριν από 52.000 χρόνια, μέσω των προγόνων μας έφθασε στην Ευρώπη, όπου και πέρασε στους Νεάντερταλ (οι οποίοι εξαφανίσθηκαν πριν από περίπου 40.000 χρόνια).

Modern humans may have brought diseases like herpes (Herpes simplex virus pictured) with them when they left Africa and began spreading into Europe. Neanderthals would have had no immunity to these diseases and they could have caught these illnesses in encounters with modern humans.

Ο ιός που προκαλεί έρπη των γεννητικών οργάνων, πιστεύεται ότι μεταδόθηκε στους προγόνους των ανθρώπων στην Αφρική πολύ πιο παλιά, πριν από 1,6 εκατομμύρια χρόνια, αφού προηγουμένως είχε μολύνει τους χιμπατζήδες. Είναι πιθανότατο ότι, κατά τις σεξουαλικές επαφές τους, οι πρόγονοί μας κόλλησαν τον έρπη στους Νεάντερταλ.

Οι δορυφόροι του Άρη φτιάχτηκαν όπως η Σελήνη. Mars moons may have formed after collision with Pluto-like world

Οι δύο δορυφόροι του Άρη είναι πιθανώς προϊόντα μιας σύγκρουσης του Κόκκινου Πλανήτη με ένα σώμα στο μέγεθος του Πλούτωνα. Deimos, the outer moon, has a smooth surface due to a blanket of fragmental rock or regolith, except for the most recent impact craters. It is a dark, reddish object, very similar to Mars' other moon, Phobos.

Η κρατούσα θεωρία αναφέρει ότι η Σελήνη είναι προϊόν μιας τρομερής σύγκρουσης της Γης με ένα διαστημικό σώμα στο μέγεθος του Άρη. Επιστήμονες στις ΗΠΑ υποστηρίζουν ότι και δύο δορυφόροι του Άρη σχηματίστηκαν με τον ίδιο ακριβώς τρόπο.

Οι προσομοιώσεις

Unlike our moon, Mars's main satellite Phobos (pictured is an artist's impression) is moving closer and closer to its parent planet, which is pulling it down. This gravitational tide is opening grooves on Phobos's surface which can measure 328 to 656 feet (100 to 200 metres) wide and 33 to 98 feet (10 to 30 metres) tall.

Η κρατούσα θεωρία αναφέρει ότι ο Φόβος και ο Δείμος ήταν αστεροειδείς οι οποίοι εγκλωβίστηκαν κάποια στιγμή από την βαρυτική έλξη του Άρη και μετατράπηκαν σε δορυφόρους του. Επιστήμονες του Southwest Research Institute στο Κολοράντο μελετώντας τις τροχιές των δύο δορυφόρων κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι αν τα δύο σώματα ήταν αστεροειδείς που εγκλωβίστηκαν βαρυτικά από τον Άρη θα ακολουθούσαν άλλες τροχιές από αυτές που έχουν. Προηγούμενες μελέτες και προσομοιώσεις που είχαν γίνει για να διαπιστωθεί αν θα μπορούσαν οι δύο δορυφόροι να αποτελούν προϊόν σύγκρουσης του Άρη με κάποιο διαστημικό σώμα είχαν αρνητικά αποτελέσματα.

Astronomers predict that Mars's larger moon, Phobos, will eventually be destroyed by its parent planet's gravitational force. This graphic shows how the satellite's remains are expected to encircle the red planet, causing it to become 'a smaller version of Saturn' and the first non-gaseous planet in our system to sport rings.

Όμως οι νέες προσομοιώσεις δείχνουν ότι αν ένα σώμα σαν τον Πλούτωνα έπεφτε πάνω στον Άρη το αποτέλεσμα θα ήταν να σχηματιστεί ένα δίσκος με μικρότερα και μεγαλύτερα συντρίμμια  γύρω από τον πλανήτη. Η προσομοίωση δείχνει επίσης ότι προοδευτικά η συνένωση των συντριμμιών δημιούργησε αρκετούς μικρούς δορυφόρους που κινούνταν γύρω από τον Άρη. Οι περισσότεροι όμως είχαν τροχιές πολύ κοντινές στον πλανήτη με αποτέλεσμα κάποια στιγμή η βαρυτική έλξη να τους εκτρέψει από την τροχιά και να πέσουν πάνω στον Άρη.

In this image, orange shows mid-ultraviolet (MUV) sunlight reflected from the surface of Phobos, exposing the moon's irregular shape and many craters. Blue shows far ultraviolet light, which is scattered off of hydrogen gas in the upper atmosphere of Mars. Phobos blocks this light, eclipsing the ultraviolet sky.

Όμως οι πιο απομακρυσμένοι δορυφόροι είναι πιθανό να επιβίωσαν. «Εκτιμούμε ότι ο Φόβος και ο Δείμος είναι οι μόνοι διασωθέντες από ένα μεγαλύτερο αριθμό δορυφόρων στον Άρη» ανέφεραν οι ερευνητές σε μεγάλο συνέδριο πλανητικής επιστήμης που έγινε στο Τέξας.

Ανοιξιάτικες Ουτοπίες

Φωτογραφίες: © Κωνσταντίνος Βακουφτσής

Έχουμε γονίδια Νεάντερταλ αλλά όχι το ανδρικό! Neanderthal Y chromosome offers clues to what kept us separate species

Όπως φαίνεται το ανδρικό γονίδιο Υ των Νεάντερταλ δεν βρίσκεται στον σύγχρονο άνθρωπο. Researchers reporting in the American Journal of Human Genetics, published by Cell Press, have completed the first in-depth genetic analysis of a Neanderthal Y chromosome. The findings offer new insights into the relationship between Neanderthals and modern humans and some of the genetic factors that might have kept the two lineages apart. The Gibraltar 1 skull, discovered in 1848 in Forbes' Quarry, was only the second Neanderthal skull and the first adult Neanderthal skull ever found. Credit CC BY-SA 3.0.

Μπορεί οι σύγχρονοι άνθρωποι να είμαστε ολίγον Νεάντερταλ, αφού ακόμη κουβαλάμε μέσα μας μερικά γονίδιά τους, όμως αυτό δεν ισχύει για το «ανδρικό» χρωμόσωμα Υ, το οποίο- αντίθετα με το χρωμόσωμα Χ- περνά αποκλειστικά από πατέρα σε υιό.

Η εξαφάνιση

Επιστήμονες από διάφορες χώρες για πρώτη φορά «διάβασαν» το χρωμόσωμα Υ ενός Νεάντερταλ και διαπίστωσαν ότι οι σύγχρονοι άνδρες δεν διαθέτουν στο χρωμόσωμα Υ γονίδια από τους Νεάντερταλ. Τα νεαντερτάλεια γονίδια του χρωμοσώματος Υ προφανώς εξαφανίσθηκαν από το ανθρώπινο γονιδίωμα εδώ και πολύ καιρό.

Μέχρι τώρα η ανάλυση του DNA των Νεάντερταλ προερχόταν από απολιθώματα γυναικών Νεάντερταλ ή από μιτοχονδριακό DNA, το οποίο περνά στα παιδιά τόσο από τον πατέρα, όσο και από τη μητέρα. Για πρώτη φορά αποκωδικοποιήθηκε ένα χρωμόσωμα Υ από Νεάντερταλ, το οποίο έως τώρα αποτελούσε τον «κρίκο» που έλειπε για να υπάρξει μια πλήρης εικόνα για το γονιδίωμα των Νεάντερταλ.

Η ανάλυση

Οι ερευνητές, με επικεφαλής τον καθηγητή γενετικής Κάρλος Μπουσταμάντε της Ιατρικής Σχολής του Πανεπιστημίου Στάνφορντ της Καλιφόρνια ανέλυσαν το χρωμόσωμα Υ ενός Νεάντερταλ που είχε βρεθεί στην Ισπανία. Είναι ήδη γνωστό ότι το DNA του σύγχρονου ανθρώπου προέρχεται από τους Νεάντερταλ σε ποσοστό από 2% έως 4% περίπου, ανάλογα με την ήπειρο (στην Ευρώπη είναι γύρω στο 2%), πράγμα που οφείλεται στις επιμειξίες μεταξύ ομάδων Νεάντερταλ και «εμφρόνων ανθρώπων» (Homo sapiens) πριν από περίπου 50.000 χρόνια.

Οι επιστήμονες δεν είναι βέβαιοι για ποιό λόγο το χρωμόσωμα Υ των Νεάντερταλ δεν επιβίωσε στο ανθρώπινο DNA μέχρι σήμερα, αντίθετα με άλλα γονίδια των «ξαδέρφων» μας. Αυτό μπορεί να συνέβη από τύχη στην εξελικτική πορεία χιλιετιών ή επειδή το εν λόγω χρωμόσωμα Υ των Νεάντερταλ περιείχε γονίδια ασύμβατα με τα ανθρώπινα (πράγμα που θεωρείται πιο πιθανό).

Δεν αποκλείεται, κατά τους ερευνητές, ότι το ανοσοποιητικό σύστημα των γυναικών προγόνων μας επιτίθετο συνεχώς στο χρωμόσωμα Υ των αγοριών εμβρύων, το οποίο προερχόταν από Νεάντερταλ, με συνέπεια αυτές οι γυναίκες να αποβάλουν αυτά τα μωρά και έτσι τελικά το εν λόγω νεαντερτάλειο χρωμόσωμα να εξαφανιστεί από το γονιδίωμά μας. Πάντως κάτι τέτοιο δεν είναι παρά μια υπόθεση προς το παρόν.

Ο διαχωρισμός

Recent studies have now shown that Neanderthals and modern humans diverged almost 590,000 years ago. Image by Nathan Harig, Wikimedia Commons

Η νέα γενετική ανάλυση ρίχνει επίσης φως στο πότε διαχωρίσθηκαν εξελικτικά οι άνθρωποι από τους Νεάντερταλ. Ο τελευταίος κοινός πρόγονός μας εκτιμάται ότι έζησε πριν από περίπου 550.000 έως 590.000 χρόνια. Προηγούμενες εκτιμήσεις τοποθετούσαν το «διαζύγιο» πριν από 400.000 έως 800.000 χρόνια.

Πολύ νωρίτερα, πριν από 4 εκατομμύρια χρόνια, οι άνθρωποι (δηλαδή το γένος Homo) είχαν πια τραβήξει χωριστούς δρόμους εξέλιξης από τους πιθήκους. Στη συνέχεια αναπτύχθηκαν διάφορα επιμέρους είδη του γένους Homo, με κορωνίδα τον «έμφρονα» άνθρωπο (Homo sapiens), ο οποίος -με κάποιο τρόπο- εξαφάνισε όλα τα άλλα «ξαδέρφια» του. Έτσι, σήμερα είμαστε «ανάδελφοι» σε αυτό τον πλανήτη... Η ανακάλυψη δημοσιεύεται στην επιθεώρηση «American Journal of Human Genetics».

Πηγή: Mendez et al. The divergence of Neanderthal and modern human Y chromosomes. American Journal of Human Genetics, 2016 DOI:10.1016/j.ajhg.2016.02.023